ISSN 1009-6248CN 61-1149/P 双月刊

主管单位:中国地质调查局

主办单位:中国地质调查局西安地质调查中心
中国地质学会

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沟谷型泥石流特征参数的等代面积递归精细求解

刘星宇, 朱立峰, 孙建伟, 贾煦, 刘向东, 黄虹霖, 程贤达, 孙亚柯, 胡超进, 张晓龙

刘星宇,朱立峰,孙建伟,等. 沟谷型泥石流特征参数的等代面积递归精细求解[J]. 西北地质,2024,57(3):272−284. doi: 10.12401/j.nwg.2023166
引用本文: 刘星宇,朱立峰,孙建伟,等. 沟谷型泥石流特征参数的等代面积递归精细求解[J]. 西北地质,2024,57(3):272−284. doi: 10.12401/j.nwg.2023166
LIU Xingyu,ZHU Lifeng,SUN Jianwei,et al. Precise Calculation for Characteristic Parameters of Valley-type Debris Flow Using a Methed of Recursive Equivalent Area Substitution[J]. Northwestern Geology,2024,57(3):272−284. doi: 10.12401/j.nwg.2023166
Citation: LIU Xingyu,ZHU Lifeng,SUN Jianwei,et al. Precise Calculation for Characteristic Parameters of Valley-type Debris Flow Using a Methed of Recursive Equivalent Area Substitution[J]. Northwestern Geology,2024,57(3):272−284. doi: 10.12401/j.nwg.2023166

沟谷型泥石流特征参数的等代面积递归精细求解

基金项目: 中国地质调查局地质调查项目“熊耳山–伏牛山矿集区生态修复支撑调查”(ZD20220218)。
详细信息
    作者简介:

    刘星宇(1987−),男,硕士,工程师,主要从事地质灾害方面工作。E–mail:1538311361@qq.com

    通讯作者:

    朱立峰(1973−),男,正高级工程师,长期从事地质灾害机理与防治研究。E–mail:397871699@qq.com

  • 中图分类号: P642.23

Precise Calculation for Characteristic Parameters of Valley-type Debris Flow Using a Methed of Recursive Equivalent Area Substitution

  • 摘要:

    为解决“沟谷型”泥石流在不规则断面处特征参数的精细求解问题,笔者以曼宁公式为基础,建立“等代”面积递归逼近的数学模型,实现了最深泥位、流体速度、威胁范围的求解计算,其结果比较符合实际。利用该模型在豫西某泥石流受威胁对象段任取10个断面进行研究分析:①计算出10年一遇、20年一遇、50年一遇、100年一遇等降水概率工况下最深泥位、流速、行洪断面大小,研究其随雨强大小的演变规律。②定量分析了各断面泄洪能力强弱。③结合泥石流强度判定标准对所选区域进行危险度分区,划分了极高危险区、高危险区、中危险区、低危险区。该模型不仅可以为预测泥石流各项指标提供基本参数,而且可为灾害防治提供科学依据。研究成果对泥石流的精细化防治方面具有重要支撑作用。

    Abstract:

    In order to solve the problem of key parameters in predicting "valley-type" debris flow at irregular profiles, based on Manning's formula, this paper establishes an approaching mathematical model of "equivalent area substitution method", which completed calculation for the deepest mud level, the flow rate and the threat range. The result is close to reality. This paper select 10 profiles randomly in the affected area by debris flow in western Henan, by this model: ① the deepest mud level was calculated, the flow velocity, and the area size of the cross-flood profiles under the probability of rainfall once in 10 years, and in 20 years, 50 years, in 100 years. ② Moreover, this paper has done some research for the law of evolution with different rain intensity, and quantitatively analyzed the flood discharge capacity of each profile. ③ Combined with the judgment standard of debris flow intensity, the selected areas were classified into extermely high-risk areas, high-risk areas, medium-risk areas, and low-risk areas. Furthermore, the model can not only provide basic parameters for predicting various indicators of debris flow, but also provide scientific basis for preventing and controlling disaster of debris flow. Finally, the results of this research have a certain significance in the refined prevention and control of debris flow.

  • 钾盐作为钾肥的主要原料一直是中国最为紧缺的战略性矿产资源之一(李文光,1998张宇轩等,2022),其广泛应用于农肥、化工、医药、纺织、印染、制革、玻璃、陶瓷、炸药等领域,特别是大量被用于制造复合肥。中国钾资源占世界总储量的2.6%,2008~2016年中国钾盐自给率维持在50%左右,耗量巨大。作为世界人口最多的农业大国,钾盐对中国至关重要,积极开拓国外钾盐市场十分必要。

    万象平原位于中国南方–东印支板块之东印板块内,属呵叻盆地的一部分。呵叻盆地是世界上重要的钾盐矿分布区之一,呵叻盆地位于泰国东北部和老挝中部,盆地四周被深大断裂控制,北为湄公河断裂(F15)、西为南乌江断裂(F8)、南为北柬埔寨断裂(F13)、东为边和断裂(F9),盆地总面积约17万 km2图1)。

    图  1  老挝万象平原钾镁盐矿大地构造位置图
    1.已知断层;2.推断断层;3.工作区;4.呵叻盆地;5.万象盆地
    Figure  1.  Tectonic location map of potassium and magnesium salt deposit in Vientiane Plain, Laos

    呵叻盆地由普潘(Phu Phan)隆起将呵叻盆地分成2个次一级盆地,即北部的沙空那空(Sakon Nakhon)盆地和南部的呵叻(Khorat)盆地,盆地矿产以钾镁盐矿为主。万象平原具体位于沙空那空盆地西北三角形地带,西起班农阿布,东至班南罗,北自班当坎,南到湄公河,面积约5 452 km2;出露二叠系—第四系,受近东西向的挤压或引张;区内构造较发育,以北北西向纵断层、褶皱及近北东向横断层为主。其中,塔贡背斜为控矿构造;岩浆活动不发育。

    矿区位于万象盆地东北部,地表大面积被第四系所覆盖,除了河流切割外,未见典型的地形、地貌构造特征,构造不发育;矿区无岩浆岩出露。万象盆地基底为下白垩统班塔拉组(K1bt2)砂岩,盖层为古近系古新统塔贡组(E1tg)。矿区大面积被第四系沉积物覆盖;古近系班塔博组(E1−2bt)粉砂质泥岩、砂岩局部出露,但钻孔中未见到该层;下白垩统班塔拉组(K1bt)在详查区地表未见出露,只在钻孔中见到。

    古近系古新统塔贡组(E1tg)为矿区含盐地层(冯明刚等,2005),主要由膏盐岩和碎屑岩组成,发育3个成盐旋回(严城民等,2006),可划分为3个岩性段,6个亚段,15个岩性层。钾镁盐矿层(E1tg1-1-3):岩性主要为桔红色、桔黄色、白色半透明–透明中厚层状光卤石岩,灰白色、白色半透明–透明中厚层状钾石盐岩次之;由下向上依次为:钾石盐矿层、光卤石矿层和钾石盐矿层。光卤石中见多层石盐夹石,钾石盐中少见夹石,个别钻孔见钾石盐中夹有薄层光卤石(王少华,2012)。光卤石矿石KCl品位大于8%的厚度为2.00~176.00 m,矿石KCl品位大于15%的厚度为0.65~165.00 m。钾镁盐矿层(E1tg2-1-2)岩性主要为淡紫色、浅红色、白色、灰白色半透明–透明状中厚层状钾石盐岩,白色半透明–透明中厚层状光卤石岩次之。

    依据前期吉林大学通过1∶5万重力测量(宋小超等,2015),在矿区内圈定剩余负异常约101 km2图2)。以等值线−1×10−5m/s2圈闭的低值区域,可作为寻找钾盐矿有利部位;共圈定7个寻找钾盐矿的I类找矿靶区(图3)和11个寻找钾盐矿的II类找矿靶区(图4)。各个靶区分述如下。

    图  2  矿区剩余重力异常图
    Figure  2.  Residual gravity anomaly in the mining area
    图  3  重力测量推断的Ⅰ类找矿靶区图
    Figure  3.  Gravity measurement and inference Ⅰ prospecting target areas
    图  4  重力测量推断的Ⅱ类找矿靶区图
    Figure  4.  Gravity measurement and inference Ⅱ prospecting target areas

    A1靶区呈北西向展布,异常面积约3 km2,预测有利成矿目标延深范围为50~400 m;A2异常面积约5 km2,预测有利成矿目标延深范围为50~600 m;A3呈东西转南北的马鞍形,异常面积约2 km2,预测有利成矿目标延深范围为100~300 m;A4呈穹窿状,异常面积约呈1 km2,深部向北延伸出勘查区,预测有利成矿目标范围为100~200 m;A5呈穹窿状,异常面积约2 km2,预测有利成矿目标延深范围为100~400 m;A6面积约面积约1 km2,预测有利成矿目标延深范围为50~400 m;A7面积约1 km2,预测有利成矿目标延深范围为100~300 m。

    B1呈北西向串珠状展布,异常面积约5 km2,预测有利成矿目标延深范围为50~400 m;B2异常面积约1 km2,预测有利成矿目标延深范围为100~200 m;B3异常面积约1 km2,预测有利成矿目标延深范围为100~400 m;B4异常面积约1 km2,预测有利成矿目标延深范围为50~300 m;B5呈北西转向串呈北西转向串珠状展布,异常面积约1.5 km2,预测有利成矿目标延深范围为50~400 m;B6异常面积约0.5 km2,深部向北移动超出勘查区范围,预测有利成矿目标延范围为100~200 m;B7异常面积约0.5 km2,预测有利成矿目标延深范围为100~200 m;B8异常面积约0.5 km2,预测有利成矿目标延深范围为100~200 m;B9异常面积约0.5 km2,预测有利成矿目标延深范围为100~200 m;B10异常面积约0.5 km2,预测有利成矿目标延深范围为100~200 m;B11异常面积约0.7 km2,预测有利成矿目标延深范围为100~200 m。

    根据重力测量推断,在I类找矿靶区A3、A4及Ⅱ类找矿靶区B6、B7、B9地区开展Ⅱ号区详查工作,共设计施工18个钻孔;Ⅱ号区及外围钾盐矿部署详查钻探工程综合测井(图5)。

    图  5  Ⅱ号区及外围钾盐矿详查钻探工程综合测井部署图
    Figure  5.  Ⅱ number area and peripheral potash detailed investigation drilling engineering comprehensive logging deployment diagram

    综合测井采集选取伽玛、视电阻率、井径参数曲线,对钾盐矿和围岩的特征反映幅值差异大,测井曲线随不同岩层而呈现显著的起伏变化(尉中良,2005);测井曲线能准确定位钾盐矿的位置和厚度,从伽玛曲线的起伏变化可以进一步区分矿层品级的相对差异。测井曲线对地层的细小变化也有反映,综合实测的几个测井参数,总结、归纳出适合本地区岩性特征,依据多个测井曲线为判别岩性的基本准则,提升测井曲线的应用效果(表1)。

    表  1  主要岩性的物性特征表
    Table  1.  Physical properties of main lithologies
    参数
    岩性
    伽玛(PA/kg)视电阻(Ω·m)井径(mm)
    泥 岩 140~180 5~10 150~180
    石盐岩 5~15 300~550 120~130
    光卤石 170~230 200~300 140~180
    钾石盐 300~650 260~500 120~140
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    图6是ZK62-12钻孔综合测井成果图。通过综合测井曲线可见,伽玛、视电阻率、井径参数曲线对钾盐矿和围岩的特征反映幅值差异大,测井曲线随不同岩层而呈现显著的起伏变化。测井曲线能准确定位钾盐矿的位置和厚度;光卤石矿体为411.60~492.10 m,矿体厚度为80.50 m。

    图  6  ZK62-12钻孔综合测井成果图
    Figure  6.  Comprehensive logging results of ZK62-12 borehole

    图6可看出,钻孔揭露的岩性为泥岩、含盐泥岩、石盐、光卤石。泥岩具有较高放射性,低电阻率,井径变化平缓;含盐泥岩具有略低放射性,较低电阻率,井径变化大;石盐具有低放射性,较高电阻率,井径变化趋于直线;光卤石具有较高放射性,较高电阻率,井径变化大。

    测量采用蜡封样品的体积。测量综合化学分析结果,光卤石平均密度为1.73 g/cm3,钾石岩平均密度为2.04 g/cm3

    矿体平均品位由该工程中各矿层内的所有单个样品的KCl测试值用厚度加权平均法求得,矿体KCL品位见表2

    表  2  Ⅱ区钻孔见矿表
    Table  2.  List of ore occurrences in area II
    孔号矿层编号位 置(m)矿层视厚度(m)KCl品位(%)矿石
    类型
    含矿
    层位
    备注
    ZK30-0 247.46 249.78 2.32 16.61 光卤石 E1tg3-1
    306.80 308.94 2.14 14.89 钾石盐 E1tg2-1
    385.37 485.06 79.21 17.97 光卤石 E1tg1-1 含夹石
    ZK34-44 418.39 419.40 0.50 20.46 钾石盐 E1tg2-1
    489.40 534.56 27.39 16.27 光卤石 E1tg1-1 含夹石
    534.56 535.50 0.94 17.18 钾石盐 E1tg1-1
    ZK40-40 267.09 267.53 0.44 33.46 钾石盐 E1tg3-1
    267.53 273.33 3.21 16.00 光卤石 E1tg3-1
    362.91 365.04 0.54 28.60 钾石盐 E1tg2-1
    439.37 466.83 13.60 15.59 光卤石 E1tg1-1
    466.83 471.18 1.09 22.15 钾石盐 E1tg1-1
    ZK40-2 312.79 313.86 0.54 21.71 钾石盐 E1tg2-1
    390.80 459.10 53.55 17.27 光卤石 E1tg1-1 含夹石
    ZK44-48 326.40 328.44 2.05 20.66 钾石盐 E1tg2-1
    328.44 331.20 2.76 18.63 光卤石 E1tg2-1
    356.39 432.70 37.93 15.26 光卤石 E1tg1-1 含夹石
    ZK48-2 294.51 333.12 35.75 18.36 光卤石 E1tg1-1
    333.70 349.00 4.51 17.32 钾石盐 E1tg1-1 含夹石
    ZK52-5 237.74 240.19 2.45 36.95 钾石盐 E1tg1-1
    240.19 296.30 10.13 18.26 光卤石 E1tg1-1 含夹石
    296.30 298.43 1.12 19.60 钾石盐 E1tg1-1
    ZK52-8 445.80 465.41 9.81 19.08 光卤石 E1tg1-1 含夹石
    ZK54-2 171.07 172.67 1.60 24.12 钾石盐 E1tg2-1
    269.19 287.86 1.16 17.74 光卤石 E1tg1-1
    298.54 311.53 6.25 16.74 钾石盐 E1tg1-1
    ZK60-8 250.59 321.30 38.03 17.81 光卤石 E1tg1-1 含夹石
    323.52 326.00 1.80 21.62 钾石盐 E1tg1-1 含夹石
    ZK62-12 410.60 411.30 0.70 15.50 钾石盐 E1tg1-1
    411.30 492.00 65.70 18.29 光卤石 E1tg1-1 含夹石
    ZK64-6 330.51 351.34 3.47 14.58 光卤石 E1tg1-1
    ZK74-12 170.52 172.32 1.80 22.05 钾石盐 E1tg2-1
    293.35 299.72 4.20 24.88 钾石盐 E1tg1-1 含夹石
    328.00 385.91 28.34 16.58 光卤石 E1tg1-1 含夹石
    ZK1 287.57 289.37 0.74 29.97 钾石盐 E1tg3-1
    545.70 546.70 1.00 20.25 钾石盐 E1tg1-1
    546.70 553.70 2.00 16.82 光卤石 E1tg1-1
    ZK5 351.38 353.28 1.90 23.06 钾石盐 E1tg2-1
    354.14 357.02 1.79 15.79 光卤石 E1tg2-1
    425.92 484.54 38.22 17.67 光卤石 E1tg1-1 含夹石
    ZK7 97.17 101.17 2.00 15.66 钾石盐 E1tg2-1
    105.74 127.06 19.32 21.34 光卤石 E1tg2-1
    156.25 157.55 0.65 15.46 光卤石 E1tg1-1
    ZK10 126.57 303.57 165.00 20.04 光卤石 E1tg1-1
    ZK11 195.51 306.51 103.00 20.38 光卤石 E1tg1-1
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    Ⅱ区钾盐矿详查共施工18个钻孔,经综合测井及取样分析验证均为见矿孔。按照矿层产出的层位及矿石类型,可划分为7个矿(层)体,由下至上依次划分为:Ⅰ号钾石盐矿体、Ⅱ号光卤石矿体、Ⅲ号钾石盐矿体、Ⅳ号光卤石矿体、Ⅴ号钾石盐矿体、Ⅵ号光卤石矿体、Ⅶ号钾石盐矿体。其中,Ⅶ是本次工作新发现矿体(李占游等,2018)。各钻孔均见到多层矿体,矿体指标采用12%~15%指标(表2)。

    (1)Ⅰ号钾石盐矿层:产于塔贡组下岩段盐岩层(E1tg1-1),为本区产出的第一层钾盐矿体,矿石矿物主要为钾石盐、石盐、光卤石,矿体呈透镜状产出,局部分布,厚度较小,无夹石;本次工作只在ZK60-8中见到该层。

    (2)Ⅱ号光卤石矿层:产于塔贡组下岩段(E1tg1-1),Ⅰ号钾石盐矿体或盐岩层上部,为本区产出的第二层钾盐矿体,层状产出,矿体连续性好,厚度大,普遍存在夹石,夹石为石盐岩;矿石矿物组成为光卤石、溢晶石、水氯镁石、石盐;此矿体是本区的主要矿体,为工作区的重点目的矿层。

    (3)Ⅲ号钾石盐矿层:产于塔贡组下岩段(E1tg1-1),为本区产出的第三层钾盐矿体,与Ⅱ号光卤石矿体连续沉积,矿体呈透镜状产出,局部分布,矿体连续性差,矿层厚度较小,无夹石;矿石矿物组成为钾石盐、石盐、光卤石。

    (4)Ⅳ号光卤石矿层:产于塔贡组中岩段盐岩层(E1tg2-1)上部,矿体连续性差,局部分布,矿层厚度较小,大多无夹石;矿石矿物组成为光卤石、石盐。

    (5)Ⅴ号钾石盐矿层:产于塔贡组中岩段盐岩层(E1tg2-1)上部,矿体连续性差,局部分布,矿层厚度较小,大多无夹石;矿石矿物组成为钾石盐、石盐。

    (6)Ⅵ号光卤石矿层:产于塔贡组上岩段盐岩层(E1tg3-1)上部,矿体连续性极差,分布范围很有限,矿层厚度较小;矿石矿物组成为光卤石、石盐。

    (7)Ⅶ号钾石盐矿层:产于塔贡组上岩段盐岩层(E1tg3-1)上部,为本次工作新发现矿体;矿体连续性极差,分布范围很有限,矿层厚度较小;矿石矿物组成为钾石盐、石盐。

    (1)通过重力测量的晕圈和数据资料,圈定了I类7个、Ⅱ类11个的钾盐找矿靶区。

    (2)物探综合测井准确定位钾盐矿体位置和厚度,取样分析计算矿层品位、密度等参数。

    (3)为钾盐矿体的圈定和资源(储)量的估算,提供了重要的基本参数和依据。

  • 图  1   研究区位置及地质背景图

    (a).康山村地质背景图;(b).栾川县地形地貌图

    Figure  1.   The map of Geological condition and the locationfor study area

    图  2   泥石流发育形态特征图和量测断面位置图

    (a).研究区测量断面位置示意图;(b).康山村泥石流隐患沟发育特征示意图

    Figure  2.   The map of characteristics for debris flow developmental features and the location of the measurement profiles

    图  3   AA`断面数学模型构建示意图

    Figure  3.   Schematic diagram of mathematical model construction for AA` profiles

    图  4   数学模型中角度和断面面积函数关系图

    Figure  4.   The relationship between the angle and crossing profiles area function in the mathematical mode

    图  5   模型递归计算示意图

    Figure  5.   Schematic diagram of model iterative calculation

    图  6   行洪断面和雨强关系图

    Figure  6.   The diagram for relationship of water crossing profiles under different rain intensity conditions

    图  7   流速、最深泥位和雨强关系图

    Figure  7.   The diagram for relationship of flow velocity,deepest mud level under different rain intensity conditions

    图  8   AA`断面100年一遇降水工况下泥位深度分区示意图

    (a).最深泥位、淹没区、未淹没区、总行洪宽度示意图 ;(b).泥石流低强度区划分标准及其宽度示意图;(c).泥石流中强度区划分标准及其宽度 ;(d).泥石流高强度区划分标准及其宽度示意图

    Figure  8.   Schematic diagram of the mud level depth division under the 100-year rainfall on the AA` profiles

    图  9   各降水强度下测量断面区域危险度分区图

    (a).100年一遇雨强条件下承灾体危险度分区图;(b).50年一遇雨强条件下承灾体危险度分区图;(c).20年一遇雨强条件下承灾体危险度分区图;(d).10年一遇雨强条件下承灾体危险度分区图

    Figure  9.   Hazard zoning map of the measurement profiles area under various rainfall intensities

    图  10   各断面淹没区、高位区淹没宽度占压其行洪总宽度比例

    (a).各断面淹没区宽度占压其行洪总宽度比例图;(b).各断面高危险区淹没宽度占压其行洪总宽度比例图

    Figure  10.   The ratio of the submerged area and high-level area width to the total flood width of each profiles

    表  1   AA`断面测量数据表

    Table  1   The table of measurement data for AA` profiles

    点号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10
    X3770586377059337706013770608377062937706353770638377066937707153770735
    Y533751533752533754533755533758533759533759533765533772533776
    H1069106910681062106310631064106710681071
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    表  2   不同雨强条件下各断面的泥位、流速计算表

    Table  2   Calculation table for mud level and flow velocity of each profiles under various rain conditions

    降水概率断面名称A-A`B-B`C-C`D-D`E-E`F-F`G-G`H-H`I-I`J-J`
    100年一遇最深泥位(m)3.956.036.118.486.454.457.054.975.285.38
    流速(m/s)1.681.391.541.371.371.441.341.481.421.46
    断面面积(m2189224229195246249287395460481
    50年一遇最深泥位(m)3.625.545.618.066.174.576.724.564.564.94
    流速(m/s)1.351.301.411.201.251.261.301.371.211.38
    断面面积(m2117190194160218284236333402406
    20年一遇最深泥位(m)3.235.254.997.515.513.995.984.064.064.39
    流速(m/s)1.301.251.231.201.201.101.181.251.051.26
    断面面积(m293145153124159228188264319320
    10年一遇最深泥位(m)2.974.834.606.915.073.675.503.743.744.04
    流速(m/s)1.261.181.111.761.130.991.101.150.931.18
    断面面积(m278123130105135193159224271271
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    表  3   泥石流强度判定准则

    Table  3   Judgment criteria for debris flow intensity

    泥石流强度泥深H(m)关系泥深H与最大流速V的乘积(m2/s)
    H≥2.5V*H≥2.5
    0.5<H≤2.50.5<V*H≤2.5
    0<H≤0.50<V*H≤0.5
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    表  4   模型递归的最终角度以及面积误差表

    Table  4   Final angle and area error table for model iterations

    断面名称A-A`B-B`C-C`D-D`E-E`F-F`G-G`H-H`I-I`J-J`
    100年一遇α1(°)86.5784.973753838370.8888.1488.2487.7
    α2(°)47.9645.2385.0574.44748785.51512783.17
    CAD测量实际面积(m2175214237202244278279380501468
    模型求解的理论面积(m2189224229195246249287395460481
    面积误差(%)64.73.53.56.12.134.183
    断面名称A-A`B-B`C-C`D-D`E-E`F-F`G-G`H-H`I-I`J-J`
    50年一遇α1(°)86.5784.97375382836788.1488.587.7
    α2(°)47.9645.2385.0574.44748783512783.17
    CAD测量实际面积(m2116175199157202265251332392409
    模型求解的理论面积(m2117190194160218284236333402406
    面积误差(%)0.908.422.612.008.027.305.660.222.640.77
    断面名称A-A`B-B`C-C`D-D`E-E`F-F`G-G`H-H`I-I`J-J`
    20年一遇α1(°)86.5784375382846788.1488.587.7
    α2(°)47.9645.2385.057273.538783512783.17
    CAD测量实际面积(m296154153119162215184282312338
    模型求解的理论面积(m293145153124159228188264319320
    面积误差(%)3.525.600.284.211.985.662.046.392.135.10
    断面名称A-A`B-B`C-C`D-D`E-E`F-F`G-G`H-H`I-I`J-J`
    10年一遇α1(°)86.5784375382846788.1488.587.7
    α2(°)47.9645.2385.057273.538783512783.17
    CAD测量实际面积(m28512512599130179146246262294
    模型求解的理论面积(m278123130105135193159224271271
    面积误差(%)7.222.074.036.163.787.408.719.043.487.86
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出版历程
  • 收稿日期:  2023-06-07
  • 修回日期:  2023-08-21
  • 录用日期:  2023-08-22
  • 网络出版日期:  2023-08-27

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