几十年来，众多专家学者为提高重力地形改正精度做了大量工作。20世纪80年代以前，主要开展以纸质地形图为基础的人工数图方法研究（杨子江，1965；吕梓令等，1981；刘文锦等，1983；林振民等，1984；胡维等，1984），其精度主要通过旋转量板后重新数图的同精度检查和使用更大比例尺地形图数图的高精度检查来评价，这种检查主要评价的是人工判读的平均高程误差，未考虑地形图的误差。20世纪90年代以来,随着计算机的广泛普及和计算技术的不断发展，一部分学者将注意力集中到提高重力地形改正计算速度和计算精度的算法研究上（冯治汉，2002；马国庆等，2008；李振海等，2011；赵军等，2012；胡明科等，2015；黎哲君等，2019；冯凡等，2022；唐小平等，2022），另一部分则主要研究数字高程模型（DEM：Digital Elevation Model，以下简称DEM）的获取及其对重力地形改正的适应性上（冯治汉，2002；张俊等，2014；张品等，2015；刘生荣等，2019）。重力地形改正电算化解脱了专业技术人员繁重的数图工作，大大提高了重力地形改正的工作效率和数据精度，但在完成重力地形改正后，如何客观地评价其精度一直没有一个较好的方法，现有的研究实际上也只是算法的精度评价（冯治汉，2007；张国利等，2013；耿涛等，2021），从地形改正数据来看，显示地形改正精度远优于规范要求，造成地形改正精度虚高的假象。

现行重力规范（DZ/T0004-2015）考虑到了地形图或DEM数据精度对地形改正的影响，但仍然没有脱离人工数图评价精度的模式，给出的还是旋转量板或改变DEM网格位置重新计算地形改正值的同精度检查和采用更大比例尺地形数据计算地形改正值的高精度检查方法（耿涛等，2010，2021）。实际上同精度检查使用的地形数据没有变，同样忽略了地形数据本身的误差，得到的只是重新网格化DEM及计算方法引起的算法误差。至于采用更大比例尺地形数据进行高精度检查的方案实际难以实施，除非有特别需求，没有哪个单位只为了评价精度而准备两套不同比例尺的地形数据；同一地区往往是在有更大比例尺地形图或更高精度DEM时，一定是采用最高精度数据进行地形改正，不可能有高精度数据而采用低精度数据完成地形改正；即使采用了更高精度的地形数据进行地形改正，也未考虑高精度地形数据本身的误差对地形改正的影响。

札喜旺登（1983）总结了影响重力地形改正精度的7个方面，认为影响地形改正精度的最大因素是作为基础数据的地形图误差与拟合地形起伏变化的模型单元大小，其他因素都是次要的。胡维（1984）基于全微分理论讨论了重力地形改正的主要误差来源及其大小，认为影响重力地形改正的主要因素是密度、高程和点位的精度，高程数据质量取决于读图人员的观测精度和定点位置的准确性，这些在很大程度上取决于图纸的精度。杨亚斌等（2011）也根据全微分理论基于人工数图方法讨论了锥形和扇形模型的近区地改精度及评价方法。耿涛等（2021）在总结前人成果、分析现行规范要求后，提出采用重力测点实测高程评价DEM精度，计算重力地形改正精度时应考虑地形DEM的误差，并给出了3种评价地形改正精度的建议方法：①采用DEM高程和测点高程作为计算点的高程分别计算地形改正值，比较两次计算结果的误差。②将厚度为m（DEM高程中误差）的平板模型引起的重力值作为地形改正精度。③在DEM数据上增加标准偏差为m（DEM高程中误差）的噪声干扰后重新计算地形改正值，用带噪声和不带噪声的计算结果的来评价地形改正误差。

根据耿涛等（2021）的建议，采用重力测点实测高程检查法和DEM中误差模型评价DEM高程精度，从误差传播定律和全微分理论出发，同时考虑重力测点和DEM的高程误差及水平位置误差，以方柱模型为例研究了重力地形改正中误差的计算方法，以及方柱模型在中区（20～2 000 m）的重力地形改正值变化规律和重力地形改正中误差的分布情况。选择陕西秦岭地区两个工作区的实测重力测点、1∶1万和1∶5万DEM数据进行了对比试验，计算的重力中区（20～2 000 m）地形改正精度与现行规范（DZ/T0004-2015，DZ/T0171-2017）要求相近，客观合理。

1.   误差传播定律

实际工作中的某些参量如重力地形改正值，不可能或不便于直接进行观测，而需要由另外一些可直接观测的参量根据一定的函数关系计算出来。测量误差无处不在，独立观测值不可避免地包含有误差，导致独立观测值的函数也必然存在误差，独立观测值的误差和函数误差也必定存在某些关系，阐述这种关系的定律称为误差传播定律（鲁明星，2005）。

定义一个量的真值X减去测量值L为误差$\Delta $（观测误差），即$ \Delta = L - X $；误差$\Delta $包括粗差${\Delta _c}$、系统误差${\Delta _x}$和偶然误差${\Delta _o}$，且$\Delta = {\Delta _c} + {\Delta _x} + {\Delta _o}$；粗差和系统误差都是可以避免或消除的，不在这里讨论。偶然误差的特点是相互独立且当观测次数无限多时，其均值为零，所以通过多次测量求平均值是提高测量精度的常用方法。对测量对象为X的简单函数$Z = f(X)$，当X有微小变化${\alpha _X}$时，根据微积分的相关知识，可得到Z的变化$ {\alpha _{\textit z}} $：

针对复杂函数，设Z是独立变量${X_1},{X_2} \cdots {X_n}$的函数：

可通过各变量的观测误差来推导函数Z的误差。设变量${X_i}$的观测值为${L_i}$，误差为${\Delta _i}$，有$ {X_i} = {L_i} - {\Delta _i} $，则函数Z为：

对函数Z在$ {L_1},{L_2}, \cdots ,{L_n} $点进行泰勒展开，只取前两项，有

这样，与函数Z有关的各变量${X_i}$只观测一次时，函数Z的误差可表述为：

当对变量${X_i}$重复多次观测时，先求出变量${X_i}$的中误差${m_i}$，再根据误差传播公式，得函数Z的中误差$ {\Delta _Z} $（邓永和，2011）

式中$ \dfrac{{\partial f}}{{\partial {{\overline {\text{X}} }_i}}} $为函数f对变量${X_i}$的偏导数在${X_i}$多次观测平均值处的值。在得到所有测点的中误差${\Delta _{{\textit z}k}}(k = 1,2,\cdots,n)$后，全区Z的平均中误差（均方误差）用下式计算（CH/T1015.1-2007）。

2.   地形改正精度计算方法

基于上述误差传播定律，重力地形改正值就是改正范围内地形相对于测点的起伏变化和岩石密度的函数，实际工作中由于地质条件的复杂性，密度在全区来说不可能是定值，地形改正范围越大，密度变化越大，密度差的大小也就越难估计。这里不讨论密度误差对地形改正值及其精度的影响，只研究地形改正工作中水平位置误差和高程误差引起的重力地形改正误差。为研究这种函数关系，假设计算点（重力测点）位于坐标原点$O(0,0,0)$，以密度均匀的方柱体模型（图1）为例讨论重力地形改正精度的计算方法，其他模型的计算公式和计算方法以此类推。

图  1  均匀密度方柱体模型示意图

Figure  1.  Schematic diagram of the uniform density square cylinder model

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采用DEM作为地形数据进行重力地形改正时，坐标原点处的地形改正值g是计算范围内全部方柱体重力改正值的累加，可表述为：

式中：i为方柱体的编号，n为地形改正范围内的方柱体总数，$ {f_i}(\sigma ,x,y,{\textit z}) $为方柱体i的地形改正计算函数。可见，基于DEM数据的方柱体模型地形改正值与方柱体的密度$\sigma $及其空间位置$(x,y,{\textit z})$、地形改正范围n有关。由于DEM高程中误差和平面位置中误差是通过多点检查得到的，基于误差传播定律和全微分理论，根据变量多次观测的误差表达式（6）可得方柱体i的重力中误差为

由于要同时考虑重力测点的水平位置和高程误差，因此式（9）中$ {\Delta _x},{\Delta _y},{\Delta _{\textit z}} $分别为重力测点和地形DEM的EW向、SN向及垂向的综合中误差。由n个方柱体构成的单个测点的地形改正值中误差为：

全区的重力地形改正中误差由式（7）给出。

根据万有引力定律，直角坐标系中均匀密度长方体i在坐标原点的重力场值为：

式中：$\sigma $为长方体的密度；G为万有引力常数；$(x,y,{\textit z})$为长方体内的场源点坐标，长方体范围为$({x_1},{x_2})$、$({y_1},{y_2})$、$({{\textit z}_1},{{\textit z}_2})$；式（11）积分后的去积分限表达式为（骆遥等，2007）：

式（12）中$R = \sqrt {{{\text{x}}^2} + {y^2} + {{\textit z}^2}} $，分别对式（12）$x,y,{\textit z}$求偏导数后的去积分限表达式为（骆遥等，2007）：

一般情况下，水平位置中误差采用EW向中误差和SN向中误差的总误差描述，即测点的平面位置中误差为$ {\Delta _s} = \pm \sqrt {\Delta _x^2 + \Delta _y^2} $，根据式（12）得到方柱的重力水平一阶导数模为$ G\sigma \sqrt {{{\ln }^2}(y + R) + {{\ln }^2}(x + R)} $，并将式（13）代入式（9）得到方柱体i的去积分限地形改正中误差为：

如图1所示，式（12）、式（13）和式（14）的积分限均为$({x_1},{x_2})$、$({y_1},{y_2})$、$({{\textit z}_1},{{\textit z}_2})$，$R = \sqrt {{{\text{x}}^2} + {y^2} + {{\textit z}^2}} $；$ {\Delta _{cs}} $为重力测点水平位置中误差${\Delta _L}$和地形DEM水平位置中误差${\Delta _s}$的均方误差，即$ {\Delta _{cs}} = \pm \sqrt {\Delta _L^2 + \Delta _s^2} $；如果采用实测高程计算重力地形改正时，$ {\Delta _{c{\textit z}}} $为重力测点高程中误差${\Delta _H}$和地形DEM高程中误差${\Delta _{\textit z}}$的均方误差，即$ {\Delta _{c{\textit z}}} = \pm \sqrt {\Delta _H^2 + \Delta _{\textit z}^2} $；如果测点高程采用地形图高程进行重力地形改正计算时，$ {\Delta _{c{\textit z}}} $为地形DEM高程中误差$ {\Delta _{\textit z}} $，不包括测点高程中误差${\Delta _H}$。将式（14）代入式（10）、式（7）即可求出测点的地形改正中误差$\Delta $和全区的地形改正中误差${m_{\textit z}}$。

3.   理论模型研究

为了研究重力地形改正值及其误差的关系、地形改正误差与地改范围的变化规律，采用图1所示的方柱体进行理论模拟。假设方柱体密度为2.67×10³ kg/m³，底边高程为0，顶边高程为50 m，计算范围为20 m～20 km；边长分别为5 m和25 m的方柱体水平位置中误差为±7.5 m和±37.5 m、高程中误差为±3.3 m和±11 m，用式（12）计算方柱体模型的重力值，参考式（14）分别计算方柱体模型水平位置误差引起的重力中误差、高程误差引起的重力中误差，结果如图2所示。

图  2  方柱体水平位置和高程误差引起的重力值误差变化曲线

红色表示方柱体边长25 m，蓝色边长为5 m；实线为高程引起的误差，虚线为水平位置引起的误差。a.方柱体重力中误差随距离的变化曲线；b和c.图a不同位置的放大

Figure  2.  Variation curve of gravity value error caused by cylinder horizontal position and elevation error

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总体上随着水平距离的增大，方柱体重力值及其中误差都呈指数规律减小，衰减速度随着水平距离的增大而减小。说明随着地形改正半径的不断增加，重力地形改正值及其中误差不断累加，但其变化率明显减小，当地形改正半径增加到一定程度时再通过增加地形改正范围来改善异常形态或提高布格重力异常精度，对地形数据的需求量会很大，成本剧增，效果也不一定好。

在水平距离相同的条件下模型边长越大，重力值及其中误差也越大，反映了实际工作中地形DEM分辨率越大地形改正误差也越大的客观事实。当水平距离约大于5 km时，模型边长为5 m和25 m的中误差曲线基本平行，说明在5 km以远虽然DEM分辨率和地形改正值及其误差仍为正相关，但不同分辨率的DEM对地形改正值及其误差的影响之差近于相等，此时地形改正误差趋于稳定，使用分辨率为5 m或25 m的地形DEM数据对重力地形改正误差的影响相差不大，说明当地改范围远到一定程度后再使用高分辨率的DEM必要不大。

以前在评价重力地形改正误差时很少注意水平位置误差的影响 。实际上，当方柱与计算点的距离 R 满足式（15）时：

以此点为界（图 2中的点A，当方柱边长 为 5～25 m 时，R为 150～300 m），在近区水平位置引起的误差大于高程引起的误差，水平位置和高程综合引起的误差主要由水平位置误差组成，误差值也较大，相反在远区高程引起的误差大于水平位置引起的误差，水平位置和高程综合引起的误差主要由高程误差组成；边长较小的方柱体引起的重力地改误差相对较小；这说明，特别是近区应尽量使用高分辨率的DEM数据。所以在今后的工作中要重视地形DEM水平位置误差的评估和使用。

在地形改正半径较大、DEM分辨率相同时，高程误差比水平位置误差对地形改正误差的贡献更大，地形改正的均方误差主要由高程误差组成，这也是研究人员的共识。

为了验证推导的误差传播公式（5）、（6）的正确性，假设图1的方柱体密度为2.67×10³ kg/m³，底边高程为0，顶边高程为300 m，边长为500 m，方柱体外有一系列重力测点。根据式（12）、式（13）和式（14），首先计算该方柱体模型的理论重力值及其水平和垂向一阶导数，然后分别在测点三维坐标上增加高程均方误差为±3.3 m和水平位置均方误差为±7.0m的噪声，并计算带噪声方柱体模型的理论重力值及其水平和垂向一阶导数，利用单次测量时函数的传递误差公式（5）计算方柱体重力值得高程和水平位置引起的误差，同时比较理论重力值和增加噪声后的重力值误差（图3）。

图  3  方柱体水平位置和高程误差引起的重力误差条形图

A.式（4）中只考虑高程影响时计算的重力误差；B.式（4）中只考虑水平位置影响时计算的重力误差；C.式（4）中同时考虑高程和水平位置影响时计算的重力误差；D.测点高程噪声引起重力误差；E.测点坐标噪声引起重力误差；F.测点高程噪声和坐标噪声综合引起的重力误差

Figure  3.  Bar chart of gravity error caused by horizontal position and elevation error of square column

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由图3可见，单次观测误差计算公式（5）计算的重力值误差略大于增加噪声后的重力值误差，在实际地形改正计算时，采用多次观测均方误差计算式（6）计算地形改正误差，式（6）的计算结果略小于式（5），可获得比较合理的地形改正误差评价结果。耿涛等（2021）建议在DEM数据上增加噪声后，用重新计算得地形改正值评价地改值的方法是可行的。

4.   实际资料试算

重力地形改正一般分近区（0～20 m）、中区（20～2 000 m）和远区（2～166.7 km）采用不同的数据源、不同的计算模型分别完成，这里只讨论中区地形改正精度，近区和远区待后续进行研究。随着高精度GNSS的广泛使用，重力测点的三维坐标精度也在不断提高。用于中区地形改正的DEM数据主要由专业测绘部门提供，是通过航空摄影测量、航天遥感测量、地形图扫描矢量化及数字线划图缩编等方法生成数字线划图再插值生成DEM数据（CH/T1015.1-2007、CH/T1015.2-2007），DEM精度一般采用平面精度和高程精度分开评定、平面精度和高程精度同时评定两种方法。其精度指标在测绘行业标准执行（CH/T9001.1-2013、CH/T9001.2-2010）有明确规定（表1）。

表  1  数字高程模型（DEM）精度指标

Table  1.  Digital elevation model （DEM） accuracy metrics

比例尺	格网 尺寸（m）	平面位置 中误差（m）	地貌 类型	高程中误差（m）
				一级	二级	三级
1∶5000	2.5	2.5	平地	0.5	0.7	1.0
			丘陵地	1.2	1.7	2.5
		3.75	山地	2.5	3.3	5.0
			高山地	4.0	6.0	8.0
1∶10000	5	5.0	平地	0.5	0.7	1.0
			丘陵地	1.2	1.7	2.5
		7.5	山地	2.5	3.3	5.0
			高山地	5.0	6.7	10.0
1∶25000	10	12.5	平地	1.5	2.0	3.0
			丘陵地	2.5	3.5	5.0
		18.75	山地	4.0	5.5	8.0
			高山地	7.0	9.5	14.0
1∶50000	25	25.0	平地	3	4	6
			丘陵地	5	7	10
		37.5	山地	8	11	16
			高山地	14	19	28
1∶100000	50	50.0	平地	6	8	12
			丘陵地	10	14	20
		75.0	山地	16	22	32
			高山地	28	38	54

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DEM高程精度主要有理论分析和实验分析两种评定方法。理论分析方法是通过一定的数学方法寻求地表起伏变化的统一规律，结合各种内插数学模型评定DEM精度，使评定精度和评定方法等具有相对普遍的理论意义。实验分析方法是从数据源随机抽样或专家选取典型地貌区域，在考虑采样方式等影响因素的情况下，依据地形复杂情况选用不同的高程内插数学模型评定DEM精度。其中检查点法和DEM中误差模型是最常用的方法，按格网或任意形式分布的检查点与DEM数据点进行对比，将这些点处的内插高程和实际高程逐一比较得到各点的误差，然后计算中误差。中国国家测绘局1∶1万和1∶5万数字高程模型生产技术规定，每个图幅用不少于28个检测点对图幅内和图幅边缘进行检测。

本次研究为评价中区地形改正精度，从测绘部门收集了陕西省南部秦岭地区两个区域的1∶1万DEM数据（分辨率5 m）和1∶5万DEM数据（分辨率25 m），利用重力点实测高程检查法和计算DEM中误差模型（耿涛等，2021）对DEM高程精度进行评价（表2）。其中，陕西凤县某地海拔1140～1 940 m，坡度大部分为20°～40°，个别地段坡度达50°～60°，地形起伏剧烈；有2347个重力测点均匀分布在500 km²的范围内，远多于测绘规范要求的检查点数，重力中区地形改正涉及范围1500 km²；重力测点高程与地形DEM的高差呈正态分布（图4）。

表  2  用实测高程点对DEM高程精度的评价统计表

Table  2.  Statistical table for evaluating DEM elevation accuracy with measured elevation points

工作地区	实测 点数(个)	DEM 比例尺	实测高程和DEM高程之差( m)
			最小值	最大值	平均值	中误差
陕西 凤县某地	2347	1∶1万	−7.299	6.882	−0.221	2.847
		1∶5万	−28.916	18.055	−5.404	9.565
陕西 山阳县 某地	1986	1∶1万	−8.234	4.748	−1.721	2.607
		1∶5万	−32.516	46.905	7.459	16.030

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图  4  陕西凤县某地1∶1万和1∶5万DEM高程精度统计图

Figure  4.  Statistical map of 1∶10,000 and 1∶50,000 DEM elevation accuracy in a place in Fengxian, Shaanxi Province

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在进行野外工作时通过GPS同精度检查，得到重力测点水平位置中误差为±2.10 m，高程中误差±0.30 m。地形DEM的水平位置中误差见表1，综合地形DEM和重力测点，可认为1∶1万DEM水平位置中误差为±7.788 m，高程中误差为±2.863 m，1∶5万DEM水平位置中误差为±37.559 m，高程中误差为±9.570 m。

陕西山阳县某地海拔700～1720 m，坡度大部分在30°～50°，个别地段坡度达60°，地形起伏剧烈；完成1∶2.5万重力30 km²、重力测点1 986点，重力中区地形改正涉及范围240 km²，利用重力测点实测高程检查法和计算DEM中误差模型评价的DEM高程精度见表2。

野外GPS同精度检查得到重力测点水平位置中误差为±0.50 m，高程中误差为±0.20 m。综合地形DEM水平中误差（表1）和高程中误差（表2）以及重力测点水平和高程误差，最终认为1∶1万DEM水平位置中误差±7.516 m，高程中误差±2.615 m；1∶5万DEM水平位置中误差±37.503 m，高程中误差±16.031 m。

基于DEM数据的水平分辨率及其高程值，采用式（11）计算20～2 000 m范围地形改正值、式（13）和式（6）计算地形改正中误差，高程中误差和水平位置中误差选用上述地形DEM和重力测点的综合误差。

4.1   1∶1万DEM计算结果

陕西凤县某地中区地形改正值最小0.8196×10⁻⁵ m/s²、最大14.949×10⁻⁵ m/s²、平均为5.301×10⁻⁵ m/s²；单点地形改正中误差最小±0.0002×10⁻⁵ m/s²、最大±0.0965×10⁻⁵ m/s²、平均为±0.0115×10⁻⁵ m/s²，全区地形改正均方误差±0.0132×10⁻⁵ m/s²，地形改正中误差呈正态分布（图5c）。

图  5  陕西凤县某地1∶1万DEM计算中区地形改正及误差分布图

a.不同环带地形改正均方误差箱型图，黑色虚线为各环带地改均方误差的中值线；b.不同环带地形改正值柱状图，黑色线表示地改值分布范围；c.各测点20～2 000 m地形改正中误差统计直方图

Figure  5.  Terrain correction and error distribution map in the middle area of 1∶10,000 DEM calculation in a place in Fengxian, Shaanxi Province

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为了研究地形改正误差随地形改正半径的变量，将20～2 000 m范围分为10环（20～50～100～200～300～500～750～1000～1250～1500～2 000 m）分别计算地形改正值及其中误差（图5a），地形改正半径从小到大地形改正中误差值呈指数下降，最大环带为20～50 m（±11.2×10⁻⁸ m/s²），最小环带为1500～2 000 m（±0.0328×10⁻⁸ m/s²）。地形改正值在20～50 m最小，在300～500 m最大（图5b）；20～300 m范围的地形改正值约占20%。

陕西山阳县某地20～2 000 m地形改正值最小2.013×10⁻⁵ m/s²、最大13.482×10⁻⁵ m/s²、平均为4.559×10⁻⁵ m/s²；单点地形改正中误差最小±0.0040×10⁻⁵ m/s²、最大±0.0308×10⁻⁵ m/s²、平均为±0.0179×10⁻⁵ m/s²，全区地形改正均方误差±0.0185×10⁻⁵ m/s²，误差主要集中在20～50 m范围（±0.0170×10⁻⁵ m/s²），地形改正中误差呈正态分布，地形改正值及中误差的分布规律与陕西凤县某地的结果一致。

陕西省南部秦岭地区崇山峻岭、地形复杂、坡陡沟深、起伏剧烈，中区地形改正值多在4×10⁻⁵ m/s²以上，最大达14×10⁻⁵ m/s²以上。使用1∶1万DEM进行重力中区地形改正时，最弱精度为±0.0185×10⁻⁵ m/s²，满足现行1∶5万重力规范（DZ/T0004-2015）最高等级的精度要求（优于±0.035×10⁻⁵ m/s²）和1∶1万～1∶2.5万重力规范（DZ/T0171-2017）Ⅲ级精度要求。

4.2   1∶5万DEM计算结果

采用1∶5万DEM计算陕西凤县某地中区地形改正误差，单点地形改正中误差最小±0.0037×10⁻⁵ m/s²、最大±1.016×10⁻⁵ m/s²、平均±0.1959×10⁻⁵ m/s²，全区地形改正均方根±0.2175×10⁻⁵ m/s²，显然不能满足规范（DZ/T0004-2015）最低精度等级的要求（±0.15×10⁻⁵ m/s²）。将中区地形改正范围分为10环（20～50～100～200～300～500～750～1000～1250～1500～2 000 m）分别计算了各环的地形改正值中误差，地形改正半径从小到大地形改正中误差值呈指数下降（图6），最大环带为20～50 m，最小环带为1500～2 000 m。

图  6  陕西凤县某地1∶5万DEM计算的中区地改及误差分布图

a.不同环带地形改正均方误差箱型图，黑色虚线为各环带地改均方误差的中值线；b.不同环带地形改正值柱状图，黑色线表示地改值分布范围；c.各测点300～2 000 m地形改正中误差统计直方图

Figure  6.  Terrain correction value and error distribution map by 1∶50,000 DEM calculation in a certain place in Fengxian, Shaanxi Province

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为研究1∶5万DEM在高精度重力勘查中地形改正误差的分布情况和1∶5万DEM进行重力地形改正的可行性，分别计算了地形改正内半径为20、50、100、200、300 m，外半径为2 000 m的地形改正中误差（表3，图7），可见，地形改正范围在200 m以远可使用1∶5万DEM进行中区地形改正，为了给中区的小范围留有误差余地，使用1∶5万DEM进行中区地形改正时建议从300 m开始，20～300 m范围应使用其他更高精度和更大比例尺的DEM数据。

表  3  陕西凤县某地1∶5万DEM计算地改误差 统计表(10⁻⁵ m/s²)

Table  3.  Statistical table of 1∶50,000 DEM Terrain correction errors in a place in Fengxian County, Shaanxi Province (10⁻⁵ m/s²)

计算范围(m)	最小值	最大值	平均值	均方误差
20～2 000	0.0037	1.0160	0.1959	0.2175
50～2 000	0.0028	0.6143	0.0966	0.1051
100～2 000	0.0025	0.4399	0.0517	0.0559
200～2 000	0.0018	0.3082	0.0238	0.0260
300～2 000	0.0016	0.2540	0.0145	0.0162
500～2 000	0.0015	0.1840	0.0063	0.0076

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图  7  陕西凤县某地1∶5万DEM计算2 km范围地改均方误差分布图

Figure  7.  Terrain correction error distribution map of land modification by 1∶50,000 DEM within 2 km of a place in Fengxian County, Shaanxi Province

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陕西山阳县某地1∶5万DEM数据，与上述方法类似计算重力地形改正值及误差，虽然地形改正精度略低，但重力地形改正值及其误差的变化规律与凤县某地相同。

从上述两个地区1∶5万DEM计算结果可见，在地形比较复杂的山区开展高精度重力测量时，如果使用1∶5万DEM进行中区地形改正，则地形改正范围要在300 m以外，20～300 m范围应采用1∶1万DEM即可满足规范要求。

5.   结论

（1）基于误差传播定律和全微分理论，提出在利用DEM计算重力地形改正时，应同时考虑重力测点和DEM数据的水平位置误差和高程误差影响，给出了基于地形DEM方柱体模型的单点和全区重力地形改正精度的评价方法，避免了以往重力地形改正精度虚高的假象。

（2）重力中区地形改正值及其误差整体上随着地改半径的不断增大而增大，但其增速却不断减小。分环地形改正值及其误差随着改正半径的增大呈指数规律下降。

（3）选择秦岭地区两个地形变化较大的重力工区，用远多于测量规范要求的实测重力点对1∶1万和1∶5万DEM高程精度进行了评价并计算了两个工区重力地形改正值及其精度，为在相同类型地区工作提供了参考。

（4）采用多次观测均方误差公式计算地形改正误差，可获得比较合理的地形改正误差评价结果。在地改半径较小的区域水平，位置误差对重力精度的影响与高程相当，应重视对地形DEM水平位置误差的评估。

致谢：感谢陕西省地勘基金项目“陕西省山阳县娘娘庙金钴多金属矿普查”和“陕西凤县庞家河-马蹄沟金矿床深部地质结构及隐伏矿体综合物探普查”提供的测试数据及所有项目成员的大力支持。