Research on the Method of Gravity Data Edge Expanding Based on Step By Step Iterative Interpolation
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摘要:
为了研究考虑异常变化特征的扩边插值方法，笔者使用理论重力异常模拟提取的1∶5万重力数据进行研究。通过Surfer软件中7种插值方法的比较，认为径向基函数法在数据扩边时能够获得较好的结果。在此基础上，笔者提出逐级迭代插值的思路并优选扩边参数如下：①核函数为多重二次曲面核函数。②搜索扇区为4个。③搜索点数为64个。④搜索半径R1/R2为6/18，且R2平行于异常整体走向。⑤搜索角度选为当搜索半径长轴R2平行于异常走向时的角度。⑥R2参数一般为0～1。其中，首次扩边时R2参数根据边界点残差对比结果选定，其余各级扩边时R2参数选0.1即可。银额盆地西部LY区块实际资料扩边应用时，采用“三步法”进行插值能够将外扩与内插参数联合考虑，扩边结果显示扩边区与实测区衔接处的重力异常连续光滑，扩边区较好的反映了异常整体趋势和局部变化特征。
Abstract:In order to study the edge expanding interpolation method considering the variation characteristics of gravity anomaly, we used 1∶50000 gravity data obtained from theoretical gravity anomaly simulation for research. Through the comparison of 7 interpolation methods in surfer software, it is considered that the radial basis function method can obtain better results in data expanding. On this basis, the idea of step by step iterative interpolation is proposed and the expanding parameters are optimized as follows: ① The kernel function is multiquadric function, ② The number of sectors to research is 4, ③ The maximum number of data to use from all sectors is 64, ④ The search radius R1/R2=6/18, and the radius R2 parallels to the main strike of the anomaly, ⑤ The search angle was selected when the search radius R2 is parallels to the main strike of the anomaly, ⑥ The R2 parameter is generally between 0 and 1, among them, R2 parameter is selected according to the residual error comparison results of boundary points when expanding for the first time, and 0.1 parameter can be selected for other levels of expanding. In the application of actual data edge expanding of LY block in west of Yin’e basin, the “three–step method” can be used for interpolation to jointly consider the external expanding and internal interpolation parameters. The expanding results show that the gravity anomaly at the junction of the expanding area and the measured area is continuous and smooth, and the expanding area better reflects the main strike and local variation characteristics of the anomaly.
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在位场数据的处理过程中，由于实测数据的有限性以及处理方法的需要，势必导致数据的边部在处理后损失（段本春等，1997；张志厚等，2013；徐如刚等，2021）。为了避免边部数据的损失，往往需要对数据进行扩边（段本春等，1997；张志厚等，2013），人为地将原实测场范围向外扩充一个区域（毛小平等，1998）。采用不同的方法会对数据扩边结果产生不同的影响，最常见的问题是扩边结果与实际数据之间产生一定的畸变（王万银等，2009），从而产生一定的边界效应，并使数据处理结果的精度降低。因此，研究一种较好的扩边方法提高扩边精度，可以尽量减小边界效应的影响，是充分利用实测数据进行处理与解释的重要环节。
扩边实质上是信号的外推过程（王万银等，2009；曾小牛等，2019，2020），它是通过插值算法利用已知区域的位场值估计出未知区域的位场值（李盼等，2018）。因此，使用的扩边方法必须能够反映位场数据的区域变化特征，而且扩边后的数据与原始数据的衔接处应连续且光滑（王万银等，2009），不能出现大幅度跳跃（姚长利等，2003）。前人针对位场异常分离（段本春等，1997），垂向导数求取（肖锋等，2008；王万银等，2009；李盼等，2018）、异常延拓（王万银等，2009；张志厚等，2013；刘芬等，2019）等处理方法的特点，通过理论模型和实测数据的比较，分析了补零扩边方法、对折扩边方法、区域场扩边方法（段本春等，1997）、余弦扩边法（段本春等，1997；王万银等，2009）、最小曲率法（王万银等，2009）、三方向扩边法（马国庆等，2010）、泛克里格（李盼等，2018）等方法的扩边效果和处理精度；提出了综合考虑重力数据填充、扩边、下延一体化或重力数据同时填充、扩边和去噪的凸集投影方法（曾小牛等，2019，2020），采用线性三角插值（徐如刚等，2021）方法，以插值切割法为例，研究了扩边尺度对重力异常分层分离结果的影响。
通过以往研究可见，前人讨论扩边方法主要集中于对位场的处理或转换结果进行精度比较，而基于位场原始异常变化特征考虑的插值扩边方法研究较少（吴洪彬，2012）；另外，已有扩边方法大多基于网格数据进行研究（王万银等，2009；曾小牛等，2019，2020），然而实际观测的数据往往不是网格数据（王万银等，2009），测线方向通常并非南北向或东西向（骆遥等，2016），而是尽可能的垂直于构造走向或所研究异常的走向，且异常编图时要求尽可能使用周边的原始数据进行扩边（中华人民共和国国土资源部，2015）。基于上述原因，笔者以1∶5万重力数据为例，采用Surfer软件进行扩边插值比较，依据原始数据直接进行扩边插值方法试验与优选，提出了考虑异常变化特征的扩边方法与参数。
1. 数据准备与方法初选
1.1 扩边插值数据准备
根据研究需要，设计由3个板状体组成的地质模型（表1），采用RGIS软件正演计算出17 km×17 km范围内的理论重力异常（图1）（本文中等值线图的间距均为0.2 mGal），异常走向为45°，形成200 m×200 m点距的矩形网格理论异常GRD文件。根据1∶5万重力调查规范，在理论异常中模拟部署点线距为250 m×500 m的工区（图1），为了更有效的比较不同角度对扩边的影响情况，本次设计测线方位为328°，工区大小为6 km×6 km，工区内测线13条，每条测线25个点，合计325个点，根据这325个点的坐标从理论异常中提取重力值作为“实测值”。参考规范要求（中华人民共和国国土资源部，2015）（扩边距离大于2 km），设计本次扩边距离为2.5 km，扩边区采用250 m×500 m的点线距进行布点，根据扩边点与实测点边界的距离大小（设距离为d），将扩边区分为5级（图1），由近及远分别为第1级（250 m≤d≤500 m，共110点），第2级（750 m≤d≤1000 m，共126点）、第3级（1250 m≤d≤1500 m，共142点）、第4级（1750 m≤d≤2000 m，共158点）、第5级（2250 m≤d≤2500 m，共174点）；将这5级点称为“待扩边点”，根据这5级点的坐标从理论异常中提取重力值作为“已知的扩边值”。
表 1 理论模型参数Table 1. Parameters of the theoretical model模型编号 角点坐标（m） 顶面埋深（m） 底面埋深（m） 密度差（g/cm3） A （10774，14001），（10244，14532），（2466，6754），（2996，6223） 500 1500 0.5 B （12731，12047），（12024，12755），（4246，4976），（4953，4269） 600 1600 0.5 C （14521，10254），（13990，10785），（6212，3007），（6742，2476） 500 1500 0.5 ![]()
图 1 理论模型重力异常及点位分布图Figure 1. Gravity anomaly of theoretical model and the points distribution要完成数据的扩边首先需要确定扩边端点范围，为了使扩边2.5 km的区域获得扩边结果，扩边插值范围应包含第5级扩边点坐标的范围（图1），又考虑到为了便于与理论异常进行差值对比，将本次扩边插值范围设置为0～17 km。结合已有研究成果（许海红等，2015），将插值间距设置为0.2 km×0.2 km；在扩边方法优选时，根据外扩5级点“已知的扩边值”分别进行残差计算，使用标准偏差来比较扩边精度（许海红等，2021）。
1.2 扩边插值方法选择
在众多的商业化软件中，Surfer软件以其方便、直观、快捷、安装简单、对系统要求低等优点得到广大地球物理工作者的青睐（刘兆平等，2010；白世彪等，2012）。基于地学研究工作的需要（陈欢欢等，2007；刘兆平等，2010；白世彪等，2012）介绍了Surfer软件的插值方法并进行了实例分析；基于重力数据网格化的需要（庞振兴等，2008；吴太旗等，2008；王兆国等，2013；许海红等，2015）优选了精度较高的插值方法并讨论了参数设置对插值结果的影响。整理前人研究可见，Surfer在数据插值方面应用广泛且能够获得较好的插值结果。但是，以往关于Surfer插值方法的研究主要是对已知点分布区域插值结果的讨论，而针对已知点之外的空白区域，使用Surfer进行插值扩边的研究较少（吴卫国，2015；曾小牛等，2020）。目前，Surfer中的插值方法有13种，已有研究表明，在1∶5万重力数据网格化时，局部多项式（Local polynomial）、多项式回归（Polynomial regression）、移动平均（Moving average）、数据度量（Data metrics）这4种方法插值精度均较低，最近邻点法（Nearest neighbor）插值结果不符合重力场空间变化特征（许海红等，2015）。此外，协同克里格法（Cokriging）需要同时考虑2类信息对插值结果的影响（孙文等，2015），而本文中只涉及重力场自有信息、不涉及其他场源信息，所以上述6种插值法本次不予考虑。综上所述，笔者选择带线性插值的三角剖分法（Triangulation with liner interpolation）、自然邻点（Natural neighbor）、改进谢别德（Modified shepard's method）、加权反距离（Inverse distance to a power）、径向基函数（Radial basis function）、克里格（Kriging）和最小曲率（Minimum curvature）等7种方法，针对重力数据插值扩边效果进一步深入研究。
根据工区内325个“实测值”，使用上述7种方法进行插值扩边；采用工区内已知点和扩边区的5级点分别进行残差分析，比较各级“已知的扩边值”与通过“实测值”插值扩边后形成的扩边值之间的误差，将插值误差的标准偏差作为评价标准（范威等，2021）。
由于改进谢别德法插值误差较大，带线性插值的三角剖分和自然邻点法在外扩区均未形成“扩边值”，因此该3种方法不能满足本次数据扩边（表2）。其余4种方法中，当扩边距离较小时（图2）（外扩第1级～外扩第3级），加权反距离法的插值误差最大，径向基函数法和克里格法插值误差较小，最小曲率法的插值误差最小；而当扩边距离较大时（图2）（外扩第4级～外扩第5级），加权反距离法的插值误差最小，径向基函数法和克里格法插值误差较小，最小曲率法的插值误差最大。根据这4种方法之间的横向对比可见，随着扩边距离的增大，加权反距离法的插值误差由大变小，最小曲率法的插值误差由小变大，表明这2种方法插值精度随着距离的变化会发生明显的跳跃变化，这也说明加权反距离和最小曲率法扩边插值的整体精度不稳定，而径向基函数法和克里格法扩边插值的整体精度相对稳定。综合比较这4种插值方法的整体插值效果，认为径向基函数法和克里格法的扩边插值效果好于加权反距离法和最小曲率法。此外，根据实测数据边界附近（外扩第1级～外扩第3级）的插值精度结果对比可见，径向基函数法插值精度高于克里格法，且径向基函数法在内部点插值时精度也最高（图2）。因此，从整体和局部的插值效果来考虑，认为径向基函数法的插值结果最优，笔者选择径向基函数法进行插值扩边。
表 2 不同插值方法标准偏差结果Table 2. Standard deviation results of different interpolation methods插值方法 内部点 外扩第1级 外扩第2级 外扩第3级 外扩第4级 外扩第5级 带线性插值的三角剖分法 0.0412 #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A 自然邻点 0.0497 #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A 改进谢别德 133 11593 32642 5 #N/A #N/A 加权反距离 0.2093 1.0056 1.3398 1.3628 1.2244 0.9430 径向基函数 0.0230 0.4938 0.9367 1.1888 1.2818 1.2625 克里格 0.0415 0.5584 0.9797 1.1909 1.2506 1.1969 最小曲率 0.0882 0.4198 0.8386 1.1797 1.4419 1.6196 注：#N/A 表示在扩边区未形成“扩边 值” 。 ![]()
图 2 不同插值方法标准偏差曲线Figure 2. Standard deviation curves of different interpolation methods2. 径向基函数法扩边参数优选
径向基函数法插值过程中的相关参数对插值结果有一定的影响，为了研究这些参数在数据扩边时的影响情况，参考已有研究（许海红等，2021），对核函数、R2参数（平滑因子）、搜索参数等指标进行优选。
2.1 扩边插值的核函数
比较5种核函数的插值精度，其余参数设置如下：R2参数为0.1；在各向异性中，比率为1，角度为0°；搜索扇区个数为4，从所有扇区使用的最大的数据个数为64，从每个扇区使用的最大的数据个数为16，所有扇区的最小数据个数（更少则白化节点）为8，如果空白扇区多于3个，则白化节点；在搜索选项中，半径设置为R1=R2=6，角度为0°。
对比发现，不同核函数插值结果差异明显，随着扩边距离的增大，薄板样条、多重对数和自然三次样条这3种核函数的标准偏差值均逐级变大，说明这3种核函数的插值精度在逐级降低；反多重二次曲面核函数在扩边距离较小时标准偏差值大，而扩边距离较大时标准偏差值变小，可见它的插值精度逐级波动变化较大；多重二次曲面核函数的各级标准偏差值相对均较小，说明该核函数的插值精度相对较高且比较稳定（表3，图3）。因此，综合考虑外扩区各级插值效果，本次选择多重二次曲面核函数进行扩边。
表 3 5种核函数标准偏差结果Table 3. Standard deviation results of five kernel functions核函数 外扩
第1级外扩
第2级外扩
第3级外扩
第4级外扩
第5级薄板样条 0.3685 1.0353 1.7646 2.4110 3.0803 多重对数 0.5662 1.1369 1.4705 1.7352 2.4457 多重二次曲面 0.4087 0.8779 1.1968 1.3479 1.3751 反多重二次曲面 0.7376 1.1848 1.3064 1.2313 0.9944 自然三次样条 0.3575 1.1839 2.2529 3.3890 4.4181 2.2 扩边插值的R2参数
R2参数是影响插值精度的一个重要因素（许海红等，2021），根据已有研究将R2参数设置为0～10等12个变量进行比较，其中，核函数选为多重二次曲面，其余参数与扩边插值核函数的其余参数设置相同。
随着外扩距离的不同，R2参数对插值结果的影响情况也不同，当距离较近（d≤1000 m）时，随着R2的增大，插值精度先变小再变大且变化范围较小；当距离较远（d≥1500 m）时，随着R2的增大，插值精度逐渐变大且变化范围较大（表4，图4）。不论外扩距离远近，当R2在0～1区间时，与R2处于1～10区间相比而言其插值结果均较稳定。根据第1、2级插值精度变化情况（当R2在1左右时精度最小），又考虑到第3、4、5级插值结果（当R2在0附近时精度最小）。笔者以距离较近处的插值结果为主，适当兼顾外扩距离较远时的插值情况，综合考虑将R2初步选定为0.8。
表 4 不同R2标准偏差结果Table 4. Standard deviation results of different R2R2 外扩
第1级外扩
第2级外扩
第3级外扩
第4级外扩
第5级0 0.5584 0.9797 1.1909 1.2504 1.1892 0.1 0.4087 0.8779 1.1968 1.3479 1.3751 0.2 0.3608 0.8442 1.2099 1.4089 1.4746 0.4 0.3125 0.8105 1.2350 1.5078 1.6245 0.6 0.2876 0.7948 1.2562 1.5872 1.7404 0.8 0.2715 0.7869 1.2738 1.6525 1.8357 1 0.2593 0.7827 1.2883 1.7066 1.9171 2 0.2211 0.7878 1.3621 1.8961 2.2390 4 0.2324 1.1089 2.0364 2.7648 3.5768 6 0.2310 0.9977 2.0765 2.9441 3.9323 8 0.2708 1.2062 2.1974 2.8556 4.9508 10 0.3494 1.5053 3.1809 4.2262 6.5030 2.3 扩边插值的搜索参数
2.3.1 搜索半径与角度
搜索半径和搜索角度会影响插值精度，依据已有研究成果，本次插值扩边选择搜索扇区为4个（杜红悦等，2009；张锦明等，2013；许海红等，2021），设计搜索半径为5组、搜索角度为6种进行对比，其中，核函数为多重二次曲面，R2为0.8，各向异性比率=搜索半径之比=R1/R2，各向异性角度=搜索角度，其余参数与扩边插值核函数的其余参数设置相同。
由外扩第1级点的残差分析结果可见，当搜索半径R1/R2等于1时，角度变化对标准偏差值的影响较小；当R1/R2小于1时，角度较小时标准偏差值大，而角度较大时标准偏差值小；当R1/R2大于1时，标准偏差结果与小于1时刚好相反（表5，图5）。外扩区插值精度与内部测点/测线方位相关性不强，而与异常走向关系密切，当搜索半径的长轴平行于异常走向时，标准偏差值较小；当搜索半径的长轴垂直于异常走向时，标准偏差值较大。相同半径下标准偏差结果随着角度的变化呈规律变化的特征，而且当搜索半径R1为6、R2为12、搜索角度为135°时（此时的搜索半径长轴平行于异常走向），获得的标准偏差值相对最小，插值精度最高（表6、图6）。
表 5 外扩第1级点的标准偏差结果Table 5. Standard deviation results of the first level expanding pointsR1～R2 6～12 6～9 6～6 9～6 12～6 各向异性比率 0.5 0.667 1 1.5 2 搜索角度=
各向异性
角度0° 0.3059 0.2550 0.2715 0.3310 0.3674 32° 0.4297 0.3617 0.2861 0.2529 0.2586 45° 0.5503 0.3898 0.2796 0.2263 0.2055 90° 0.2694 0.2825 0.2715 0.2850 0.3355 122° 0.1785 0.2127 0.2861 0.3758 0.4532 135° 0.1385 0.1908 0.2796 0.3816 0.4872 ![]()
图 5 外扩第1级点的标准偏差曲线Figure 5. Standard deviation curves of the first level expanding points表 6 半径R1=6、R2=12时外扩区标准偏差结果Table 6. Standard deviation results of expanding area whenradius R1=6 and R2=12角度 外扩
第1级外扩
第2级外扩
第3级外扩
第4级外扩
第5级0° 0.3059 0.8721 1.5104 2.0137 2.3485 32° 0.4297 1.3634 2.4833 3.4310 3.9359 45° 0.5503 1.4258 2.0933 2.6701 3.0374 90° 0.2694 0.9643 1.6802 2.1498 2.3067 122° 0.1785 0.5567 0.9594 1.2718 1.4273 135° 0.1385 0.4560 0.8938 1.2566 1.4601 ![]()
图 6 半径R1=6、R2=12时外扩区标准偏差曲线Figure 6. Standard deviation curves of expanding area when radius R1=6 and R2=122.3.2 搜索半径再比较
由不同半径下插值结果变化趋势可见，在搜索角度为135°时，如果R1与R2之比更小（图5），插值精度是否会更高？基于此，选取5种组合半径（R1/R2<1）再比较，其中，各向异性比率=R1/R2，其余参数与搜索半径与角度的其余参数设置相同。
随着搜索半径R1/R2的逐渐减小，标准偏差结果由大变小后变大（表7，图7）。 综合比较外扩各级插值精度结果，本次优选的搜索半径为R1=6、R2=18，搜索角度为135°。
表 7 不同搜索半径外扩区标准偏差结果Table 7. Standard deviation results of expanding area with different search radius半径
R1～R2各向
异性比率外扩
第1级外扩
第2级外扩
第3级外扩
第4级外扩
第5级6～9 0.667 0.1908 0.6063 1.1106 1.5160 1.7281 6～12 0.5 0.1385 0.4560 0.8938 1.2566 1.4601 6～18 0.333 0.0738 0.2743 0.6327 0.8879 1.0395 6～24 0.25 0.0574 0.2645 0.5969 0.9025 1.0871 6～30 0.2 0.0793 0.3245 0.7580 1.1690 1.5718 ![]()
图 7 不同搜索半径外扩区标准偏差曲线Figure 7. Standard deviation curves of expanding area with different search radius2.3.3 搜索点数
搜索点的数量对插值结果也有一定的影响，参照前人研究成果（许海红等，2021），笔者将从所有扇区使用的最大的搜索点数设为48、64、80和96等4种进行对比。
随着最大搜索点数的逐渐增多，尽管有个别（外扩第4级）标准偏差值逐渐变小，但整体结果表现为先变小后变大，且当搜索点个数为64～80时，标准偏差值相对最小（表8，图8）。综合考虑认为，选择最大搜索点数为64个时可以得到满意的扩边结果。
表 8 不同搜索点数外扩区标准偏差结果Table 8. Standard deviation results of expanding area with different search points搜索点数 48 64 80 96 外扩第1级 0.0781 0.0738 0.0957 0.1037 外扩第2级 0.3628 0.2743 0.2779 0.3088 外扩第3级 0.6909 0.6327 0.5561 0.5834 外扩第4级 0.9767 0.8879 0.8673 0.8632 外扩第5级 1.1345 1.0395 1.0415 1.0765 ![]()
图 8 不同搜索点数外扩区标准偏差曲线Figure 8. Standard deviation curves of expanding area with different search points3. 逐级插值验证与扩边实现
根据以上对比可见，在进行插值扩边时径向基函数法能够获得较好的扩边效果，优选的各类插值参数为：①多重二次曲面核函数。②R2参数为0～1（笔者初选为0.8）。③搜索扇区选为4个。④最大搜索点数为64个。⑤搜索半径R1/R2=6/18=各向异性比率=0.333。⑥搜索角度=各向异性角度=135°。采用这些参数进行插值扩边并绘制成图（图9a），与仅考虑实测点内部的最优插值结果（图9b）（注：内部区使用径向基函数法插值时各项参数为：①自然三次样条核函数。②R2参数为0～1（笔者选为0.8）。③搜索扇区选为4个。④最大搜索点数为80个。⑤各向异性比率=搜索半径R1/R2=6/9=0.667。⑥各向异性角度=搜索角度=32°）。对比可见：当仅考虑内部实测区插值精度时（图9b），外扩区异常不能较好的保持内部区异常走向特征及延伸趋势；当仅考虑外扩区插值精度时（图9a），其使用的插值参数对于内部区插值而言并不是最优的（表9）；外扩距离较远（d≥1000 m，即第2级扩边点外）时，扩边区异常等值线存在不同程度的扭曲现象。
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图 9 两组最优参数对应的外扩和内插结果a.首次外扩插值结果；b.仅考虑内部点插值结果Figure 9. External and internal interpolation results corresponding to two sets of optimal parameters表 9 仅考虑内部或外部最佳参数时外扩区标准偏差结果Table 9. Standard deviation results of expanding area when only considered internal or external optimal parameters参数选取 内部点 外扩第1级 外扩第2级 外扩第3级 外扩第4级 外扩第5级 仅考虑外扩最佳参数时 0.01659 0.0738 0.2743 0.6327 0.8879 1.0395 仅考虑内插最佳参数时 0.01656 0.4235 1.7454 3.7984 6.0762 8.8219 为了能够有效的解决内插和外扩参数不一致的问题，笔者将外扩和内插分开考虑、各自实现：在外扩的最优结果中提取“待扩边点”的异常并赋值，将“赋值的扩边点”添加到已知实测点中并用优选的内插参数进行插值达到扩边的目的；为了使整个外扩区的扩边数据连续光滑、不出现大幅度跳跃且能够反映场源区异常变化趋势，采取渐变扩充的方法更符合位场的特点（姚长利等，2003）。因此，笔者采用多次迭代插值外推的方法，由近到远将上一级扩边的结果添加到已知点中再继续进行下一级的扩边，根据外扩点分布距离进行逐级插值扩边。
逐级插值扩边的思路与步骤为：①根据本文第2节优选的最佳参数对已知点（325个“实测点”）进行插值扩边形成GRD文件。②根据外扩第1级110个“待扩边点”的坐标，从最佳扩边结果GRD文件中提取扩边异常值，并赋给第1级“待扩边点”，形成第1级“赋值的扩边点”。③将第1级“赋值的扩边点”添加到已知点中，然后再用这些点（325+110=435个点）进行插值。④根据③的插值结果，用外扩第2级126个“已知的扩边值”进行残差分析，求取最佳扩边结果。⑤根据第2级“待扩边点”坐标，从④的最佳扩边结果中提取扩边异常值，并赋给第2级“待扩边点”，形成第2级“赋值的扩边点”。⑥采用③～⑤的思路如此继续迭代扩边，直到获得第5级“赋值的扩边点”。当采用逐级迭代插值的方法获得外扩区所有的“赋值的扩边点”后，将其全部添加到内部“实测点”中，再使用内部点最优参数进行插值，最终实现数据的扩边。
3.1 扩边参数验证与优选
根据上述优选的最佳外扩参数进行一次插值后提取得到外扩第1级“赋值的扩边点”，为了进一步比较和验证最佳扩边参数的适用性，将外扩第1级“赋值的扩边点”添加到已知点中形成一组新的数据，通过外扩第2、3、4、5级“已知的扩边值”进行残差分析，验证核函数、R2参数、搜索参数的选取情况。
3.1.1 核函数验证与优选
核函数是数据插值时首先应确定的重要参数，为了比较5种核函数的差异，将其他参数统一设置与图9a中参数相同时进行比较。通过对已知点添加第1级“赋值的扩边点”插值后外扩各级残差结果可见（图10），随着外扩距离的增大，5种核函数的标准偏差值均逐级增大（图10a），其中，多重二次曲面与反多重二次曲面这2种核函数的标准偏差值相对均较小，说明这2种核函数插值精度均较高。根据2种插值结果绘制平面图可见（图10b、图10c），反多重二次曲面核函数在第2级扩边点附近更容易形成局部圈闭，这与原始异常形态差异较大，对于下一级外扩点的迭代插值会造成明显影响。因此，根据插值精度和插值效果对比认为多重二次曲面核函数在扩边插值时效果更好。
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图 10 添加外扩第1级“赋值的扩边点”后不同核函数扩边结果a.不同核函数标准偏差结果；b.多重二次曲面核函数扩边结果；c.反多重二次曲面核函数扩边结果Figure 10. Edge expanding results of different kernel functions after adding the first level “assigned expanding points”3.1.2 R2参数验证与优选
为了验证添加“赋值的扩边点”后R2参数变化对插值结果的影响，参考前文研究设置R2参数为0～1之间的7个变量进行比较，核函数为多重二次曲面核函数，其余参数与核函数验证优选的其余参数设置相同（图11a）。
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图 11 添加“赋值的扩边点”后不同R2参数扩边的标准偏差曲线a.添加外扩第1级点后标准偏差；b.添加外扩第1、2级点后标准偏差；c.添加外扩第1、2、3级点后标准偏差Figure 11. Standard deviation curves of different R2 parameters after adding “assigned expanding points”R2参数在0～1之间逐渐增大时，各级外扩点标准偏差均为先减小再增大，且最小值均位于0.1附近（图11a）。根据扩边插值R2参数的研究结果可知，随着外扩距离的不同，R2参数对插值结果的影响情况也不同；但添加第1级“赋值的扩边点”后，R2参数对不同外扩距离插值精度的影响基本一致（图11a）。为了进一步落实验证最佳R2参数，继续将第1、2、3级“赋值的扩边点”添加到已知点中再插值扩边分析残差（图11）。对比发现，R2参数变化对插值结果的影响情况基本相似，当R2参数为0.1时得到的标准偏差值均较小，且插值扩边结果较稳定。因此，当添加外扩各级“赋值的扩边点”后进行插值扩边时，选择R2参数为0.1可以达到较好的插值效果。
3.1.3 搜索参数验证与优选
在选定最佳核函数与R2参数的基础上，分别进行搜索角度、搜索半径和搜索点数等最佳参数的验证与优选。根据外扩各级残差统计结果比较可见（图12），给已知点添加第1级“赋值的扩边点”后与未添加时搜索参数的变化对插值精度的影响规律基本相同。搜索半径固定时，随着搜索角度的变化，当搜索半径的长轴与异常走向平行时插值精度高，而垂直时插值精度低，当搜索角度为135°时（即搜索半径的长轴与异常走向平行时）各级插值精度均较高（图6、图12a）。随着搜索半径之比的不断变小，标准偏差值逐渐减小，然而搜索半径之比持续变小之后，标准偏差值没有明显减小，插值精度没有显著提升（图7、图12b）。对比认为，搜索半径R1/R2为6/18时获得的插值结果较稳定，能够满足扩边需求。搜索点数的变化对插值精度的影响情况基本一致，因此选择最大搜索点数为64个即能够获得满意的扩边效果（图8、图12c）。标准偏差曲线对比显示（图6、图7、图8、图12），在一定范围内搜索角度对插值精度的影响最大，其次为搜索半径，搜索点数的影响较小。
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图 12 不同搜索参数对应的标准偏差曲线a.搜索角度验证：R1/R2=6/18，最大点数为64； b.搜索半径验证：搜索角度为135°，最大点数为64；c.搜索点数验证： R1/R2=6/18，搜索角度为135°Figure 12. Standard deviation curves corresponding to different search parameters综上所述，笔者优选的最佳扩边插值参数如下：①核函数为多重二次曲面核函数。②搜索扇区为4个。③搜索点数为64个（即从所有扇区使用的最大的数据个数），从每个扇区使用的最大的数据个数为16，所有扇区的最小数据个数（更少则白化节点）为8，如果空白扇区多于3个则白化节点。④搜索半径R1=6、R2=18（各向异性比率R1/R2=0.333）。⑤搜索角度为135°（即搜索半径的长轴R2平行于异常走向时的角度，各向异性角度=135°）。⑥首次插值扩边时R2参数为0.8，其余各级扩边时R2参数为0.1。
3.2 扩边插值实现
根据上述优选的最佳参数进行逐级迭代插值，得到外扩5级“赋值的扩边点”，将它们添加到原始数据中，采用优选参数进行内插（内插参数与图9b使用的参数一致），得到原始数据向外扩边2.5 km的插值扩边结果（图13b），并将添加了“赋值的扩边点”前后2个插值扩边结果与理论异常（图13a）进行直接求差，对比扩边效果（图13c、图13d）。
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图 13 添加“赋值的扩边点”前后扩边结果对比a.模型正演理论异常；b.实测点添加“赋值的扩边点”后,最优插值结果；c.实测点未添加“赋值的扩边点”时，最优插值与理论异常求差；d.实测点添加“赋值的扩边点”后，最优插值与理论异常求差Figure 13. Comparison of edge expanding results before and after adding the “assigned expanding points”对比发现，逐级迭代插值后外扩区与实测区异常的整体变化特征一致（图13a、图13b）：外扩区异常能够较好的保持实测区异常的走向趋势并有一定距离的延伸；外扩区异常高低变化和展布排列与实测区异常的变化特点相似。已有研究可知，数据的内插是将离散的不等间距上的数据变成等间距上的规则网格数据（王万银等，2011）；而数据的扩边是一个外推问题，是从已知点向未知点进行外推的过程，与数据的内插相比而言，数据的扩边具有很大的不确定性，位场数据也具有逐渐变化的特点。因此，在数据外扩过程中采用逐级扩边的办法，根据已知点实测区的位场特征考量未知点外扩区的位场变化趋势进行迭代插值，能够得到较为合理的扩边结果。当没有添加“赋值的扩边点”时，扩边区异常与理论异常的直接差等值线发生了明显的扭曲和突变；当添加“赋值的扩边点”后，扩边区异常与理论异常的直接差在实测区和扩边区衔接处异常连续光滑变化，且随着扩边距离的逐渐增大，扩边区异常逐渐变化无突变（图13c、图13d）。
4. 扩边讨论与应用实例
4.1 插值扩边讨论
笔者基于图1的模型进行了插值扩边效果分析，根据外扩点的插值精度对比，优选了扩边核函数等相关参数，提出了逐级扩边的方法且通过图13比较可见，外扩区异常能够较好的保持了实测区异常的走向特征。然而，实际中往往存在不同走向或多个走向的异常，那么在扩边时又该如何考虑相关的搜索参数？为此，笔者设计不同走向的新模型进行测试比较，如图14所示，该新模型（XA、XB、XC）与图1模型（A、B、C）的大小埋深对应一致，新模型的走向与图1模型的走向互相垂直。根据该方法采用的不同搜索角度对实测区进行扩边插值，外扩各级的插值精度统计结果见表10与图15。
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图 15 不同搜索角度时新模型的标准偏差曲线Figure 15. Standard deviation curves of new model with different search angles表 10 不同搜索角度时新模型的扩边结果Table 10. Edge expanding results of new model with different search angles搜索
角度0° 32° 45° 90° 122° 135° 外扩第1级 0.3109 0.1547 0.0738 0.4983 1.1727 1.0471 外扩第2级 1.4690 0.4251 0.2743 1.2504 2.8641 1.9599 外扩第3级 2.6924 0.6833 0.6327 1.9878 5.6132 4.0206 外扩第4级 3.5599 0.8962 0.8879 2.6471 8.4885 6.5704 外扩第5级 3.9009 1.0328 1.0395 3.2340 10.7697 8.3004 根据插值统计结果（图15）可见，对于图14的新模型而言，当搜索角度为45°时各外扩点对应的插值精度相对较高，而对于图1的模型而言，搜索角度为135°时扩边插值精度相对较高；对比模型走向及搜索角度的大小可见，2个模型的扩边插值结论是一致的，即当搜索半径的长轴R2平行于异常走向时，标准偏差值较小，插值结果最优。
为了进一步测试搜索角度的选取对插值精度的影响情况，笔者设计了Y模型（图16）。在研究区内存在多个不同走向的异常，其中YA异常走向为20°，YB异常走向为51°，YC异常走向为82°，异常整体走向约为51°，测线为南北向，参考各异常走向和测线方向，设计10个搜索角度进行对比，外扩各级插值精度统计结果见表11、图17。
表 11 不同搜索角度时Y模型的扩边结果Table 11. Edge expanding results of Y model with different search angles搜索
角度外扩
第1级外扩
第2级外扩
第3级外扩
第4级外扩
第5级0° 1.4208 3.9802 5.9726 7.6232 8.8935 8° 0.9059 2.3075 3.7689 5.6709 6.6191 39° 0.4838 1.3818 2.1895 3.0557 3.2056 45° 0.3833 1.1941 1.9197 2.4483 2.7107 70° 0.3108 0.9633 1.4703 1.8648 2.2582 90° 0.3309 1.3128 1.7726 2.2548 2.7663 98° 0.3186 0.8561 1.1129 1.3845 1.9681 129° 0.0935 0.2776 0.4958 0.7509 1.0083 135° 0.1206 0.3465 0.5737 0.7635 0.9791 160° 0.4661 1.1499 1.9294 2.1958 2.2504 ![]()
图 17 不同搜索角度时Y模型的标准偏差曲线Figure 17. Standard deviation curves of Y model with different search angles不同搜索角度下外扩各级点的精度变化趋势基本一致，即随着搜索角度由小变大，标准偏差结果表现为先变小再增大后变小又增大的变化规律（图17）。当搜索角度垂直（70°）或平行（160°）于YA异常走向时和当搜索角度垂直（8°）或平行（98°）于YC异常走向时，插值精度均不是最优的；当搜索角度垂直（39°）或近垂直（45°）于整体异常（YB异常）走向时，或搜索角度沿测点（90°）/测线（0°）方向时，插值精度也不是最优的；而当搜索角度平行（129°）或近平行（135°）于整体异常（YB异常）走向时，标准偏差值均较小，插值精度相对均较高。通过Y模型扩边插值精度对比可见，对于存在多个不同走向的异常而言，当搜索角度平行于异常整体走向时，得到的插值结果精度最优。
基于新模型和Y模型的理论异常对搜索半径和搜索点数进行测试，插值精度曲线见图18、图19。新模型中不同搜索半径或搜索点数对插值结果的影响状况与图1模型的比较结果相同（图7、图8）。对Y模型而言，不同搜索半径对应的外扩各级插值精度变化趋势类似，即当搜索半径R1/R2由大变小时，标准偏差值由大变小后又变大，且半径R1/R2为6/18时插值精度相对较高；当搜索点数由小变大时，外扩各级的标准偏差值变化趋势各不相同，整体来看搜索点数为64个时插值结果相对稳定。
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图 18 新模型（a）与Y模型（b）不同搜索半径的扩边结果Figure 18. (a) New model and Y model (b) edge expanding results with different search radius![]()
图 19 新模型（a）与Y模型（b）不同搜索点数的扩边结果Figure 19. (a) New model and Y model (b) edge expanding results with different search points归纳比较3个模型（图1、图14、图16）的扩边插值试验结果，搜索角度的选取与异常的走向有关，当搜索角度选为使搜索半径的长轴平行于异常整体走向时，标准偏差值最小，插值结果最优；而搜索半径R1/R2选为6/18时、搜索点数选64个时，插值精度相对最高。
4.2 实测数据扩边
笔者以银额盆地西部LY区块1∶5万实测重力资料扩边为例，根据逐级迭代插值的思路进行实测数据的插值扩边。与理论模型扩边不同的是：在实际数据的扩边时没有已知的外扩点，为了确定首次外扩时最佳R2参数，可以将实测区的边界点作为已知的第1级扩边点进行对比优选。因此，实际数据扩边时采用“三步法”即能够完成数据的插值扩边。①扩边参数及数据准备：根据实测点初步插值结果选定该区异常主体走向作为外扩插值时最佳搜索角度的参考，以实测区边界点为参考对比优选出外扩第1级扩边时的最佳R2参数值，根据边界点坐标准备好外扩区“待扩边点”的坐标。②外扩点异常提取：根据第一步选定的最佳参数，并结合笔者优选的其他参数对实测点进行逐级插值扩边，依次提取外扩5级“扩边点”的最佳扩边异常并赋值。③插值扩边实现：将②“赋值的扩边点”添加到实测点，根据内插优选的参数对所有数据点进行插值，完成实测点的插值扩边（图20）。
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图 20 逐级迭代插值扩边流程图Figure 20. Flow chart of edge expanding use step by step iterative interpolation已知银额盆地西部LY区块点线距为250×500 m，共有17条线，每条线33个点，总计561个点；本次扩边距离2.5 km，第1级扩边点142个，第2级扩边点166个，第3级扩边点182个，第4级扩边点198个，第5级扩边点214个（图21a）。
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图 21 LY区块扩边前（a）后（b）等值线图Figure 21. (a) Contour map of LY block before and (b) after edge expanding采用逐级迭代插值进行实测数据扩边后，扩边区和实测区衔接处的重力异常较平滑，等值线形态连续，异常值无突变（图21b）。具体表现为：①扩边区异常整体走向能够保持实测区异常的走向趋势。②扩边区局部异常形态能够较好的体现实测边界区局部异常的变化状况。③扩边区异常值逐级渐变且与实测区异常变化特征一致。综上所述，通过“三步法”对重力数据进行扩边可以获得较为满意的结果。
5. 结论
（1）采用理论模型对重力数据的扩边方法进行了对比研究，认为surfer软件的径向基函数法在数据扩边时能够获得较好的扩边插值结果。
（2）扩边插值时优选的核函数为多重二次曲面函数；第1级扩边时R2参数选为0.8，其余各级扩边时R2参数选为0.1；搜索扇区为4个，最大搜索点数为64个，搜索半径R1/R2选为6/18（各向异性比率为R1/R2=0.333），搜索角度为135°（各向异性角度为135°）。对比发现，搜索半径、搜索点数等参数具有普适性，而搜索角度要选择搜索半径长轴R2平行于异常走向时的角度，首次扩边时R2参数应根据实测区边界点残差结果对比优选。
（3）采用“三步法”进行插值扩边，将外扩与内插结合考虑，既能满足外扩时最佳扩边异常的选取，又能保证内插时最佳参数的使用；采用逐级外扩、迭代插值的思路，符合位场渐变的特点，确保了扩边区与实测区衔接处异常的连续光滑，能够较好的刻画异常整体趋势和局部特征。
致谢：匿名专家提出了建设性的意见，在此表示衷心的感谢！
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图 1 理论模型重力异常及点位分布图
Figure 1. Gravity anomaly of theoretical model and the points distribution
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图 2 不同插值方法标准偏差曲线
Figure 2. Standard deviation curves of different interpolation methods
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图 5 外扩第1级点的标准偏差曲线
Figure 5. Standard deviation curves of the first level expanding points
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图 6 半径R1=6、R2=12时外扩区标准偏差曲线
Figure 6. Standard deviation curves of expanding area when radius R1=6 and R2=12
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图 7 不同搜索半径外扩区标准偏差曲线
Figure 7. Standard deviation curves of expanding area with different search radius
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图 8 不同搜索点数外扩区标准偏差曲线
Figure 8. Standard deviation curves of expanding area with different search points
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图 9 两组最优参数对应的外扩和内插结果
a.首次外扩插值结果；b.仅考虑内部点插值结果
Figure 9. External and internal interpolation results corresponding to two sets of optimal parameters
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图 10 添加外扩第1级“赋值的扩边点”后不同核函数扩边结果
a.不同核函数标准偏差结果；b.多重二次曲面核函数扩边结果；c.反多重二次曲面核函数扩边结果
Figure 10. Edge expanding results of different kernel functions after adding the first level “assigned expanding points”
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图 11 添加“赋值的扩边点”后不同R2参数扩边的标准偏差曲线
a.添加外扩第1级点后标准偏差；b.添加外扩第1、2级点后标准偏差；c.添加外扩第1、2、3级点后标准偏差
Figure 11. Standard deviation curves of different R2 parameters after adding “assigned expanding points”
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图 12 不同搜索参数对应的标准偏差曲线
a.搜索角度验证：R1/R2=6/18，最大点数为64； b.搜索半径验证：搜索角度为135°，最大点数为64；c.搜索点数验证： R1/R2=6/18，搜索角度为135°
Figure 12. Standard deviation curves corresponding to different search parameters
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图 13 添加“赋值的扩边点”前后扩边结果对比
a.模型正演理论异常；b.实测点添加“赋值的扩边点”后,最优插值结果；c.实测点未添加“赋值的扩边点”时，最优插值与理论异常求差；d.实测点添加“赋值的扩边点”后，最优插值与理论异常求差
Figure 13. Comparison of edge expanding results before and after adding the “assigned expanding points”
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图 15 不同搜索角度时新模型的标准偏差曲线
Figure 15. Standard deviation curves of new model with different search angles
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图 17 不同搜索角度时Y模型的标准偏差曲线
Figure 17. Standard deviation curves of Y model with different search angles
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图 18 新模型（a）与Y模型（b）不同搜索半径的扩边结果
Figure 18. (a) New model and Y model (b) edge expanding results with different search radius
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图 19 新模型（a）与Y模型（b）不同搜索点数的扩边结果
Figure 19. (a) New model and Y model (b) edge expanding results with different search points
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图 20 逐级迭代插值扩边流程图
Figure 20. Flow chart of edge expanding use step by step iterative interpolation
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图 21 LY区块扩边前（a）后（b）等值线图
Figure 21. (a) Contour map of LY block before and (b) after edge expanding
表 1 理论模型参数
Table 1 Parameters of the theoretical model
模型编号 角点坐标（m） 顶面埋深（m） 底面埋深（m） 密度差（g/cm3） A （10774，14001），（10244，14532），（2466，6754），（2996，6223） 500 1500 0.5 B （12731，12047），（12024，12755），（4246，4976），（4953，4269） 600 1600 0.5 C （14521，10254），（13990，10785），（6212，3007），（6742，2476） 500 1500 0.5 
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表 2 不同插值方法标准偏差结果
Table 2 Standard deviation results of different interpolation methods
插值方法 内部点 外扩第1级 外扩第2级 外扩第3级 外扩第4级 外扩第5级 带线性插值的三角剖分法 0.0412 #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A 自然邻点 0.0497 #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A 改进谢别德 133 11593 32642 5 #N/A #N/A 加权反距离 0.2093 1.0056 1.3398 1.3628 1.2244 0.9430 径向基函数 0.0230 0.4938 0.9367 1.1888 1.2818 1.2625 克里格 0.0415 0.5584 0.9797 1.1909 1.2506 1.1969 最小曲率 0.0882 0.4198 0.8386 1.1797 1.4419 1.6196 注：#N/A 表示在扩边区未形成“扩边 值” 。
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表 3 5种核函数标准偏差结果
Table 3 Standard deviation results of five kernel functions
核函数 外扩
第1级外扩
第2级外扩
第3级外扩
第4级外扩
第5级薄板样条 0.3685 1.0353 1.7646 2.4110 3.0803 多重对数 0.5662 1.1369 1.4705 1.7352 2.4457 多重二次曲面 0.4087 0.8779 1.1968 1.3479 1.3751 反多重二次曲面 0.7376 1.1848 1.3064 1.2313 0.9944 自然三次样条 0.3575 1.1839 2.2529 3.3890 4.4181
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表 4 不同R2标准偏差结果
Table 4 Standard deviation results of different R2
R2 外扩
第1级外扩
第2级外扩
第3级外扩
第4级外扩
第5级0 0.5584 0.9797 1.1909 1.2504 1.1892 0.1 0.4087 0.8779 1.1968 1.3479 1.3751 0.2 0.3608 0.8442 1.2099 1.4089 1.4746 0.4 0.3125 0.8105 1.2350 1.5078 1.6245 0.6 0.2876 0.7948 1.2562 1.5872 1.7404 0.8 0.2715 0.7869 1.2738 1.6525 1.8357 1 0.2593 0.7827 1.2883 1.7066 1.9171 2 0.2211 0.7878 1.3621 1.8961 2.2390 4 0.2324 1.1089 2.0364 2.7648 3.5768 6 0.2310 0.9977 2.0765 2.9441 3.9323 8 0.2708 1.2062 2.1974 2.8556 4.9508 10 0.3494 1.5053 3.1809 4.2262 6.5030
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表 5 外扩第1级点的标准偏差结果
Table 5 Standard deviation results of the first level expanding points
R1～R2 6～12 6～9 6～6 9～6 12～6 各向异性比率 0.5 0.667 1 1.5 2 搜索角度=
各向异性
角度0° 0.3059 0.2550 0.2715 0.3310 0.3674 32° 0.4297 0.3617 0.2861 0.2529 0.2586 45° 0.5503 0.3898 0.2796 0.2263 0.2055 90° 0.2694 0.2825 0.2715 0.2850 0.3355 122° 0.1785 0.2127 0.2861 0.3758 0.4532 135° 0.1385 0.1908 0.2796 0.3816 0.4872
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表 6 半径R1=6、R2=12时外扩区标准偏差结果
Table 6 Standard deviation results of expanding area whenradius R1=6 and R2=12
角度 外扩
第1级外扩
第2级外扩
第3级外扩
第4级外扩
第5级0° 0.3059 0.8721 1.5104 2.0137 2.3485 32° 0.4297 1.3634 2.4833 3.4310 3.9359 45° 0.5503 1.4258 2.0933 2.6701 3.0374 90° 0.2694 0.9643 1.6802 2.1498 2.3067 122° 0.1785 0.5567 0.9594 1.2718 1.4273 135° 0.1385 0.4560 0.8938 1.2566 1.4601
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表 7 不同搜索半径外扩区标准偏差结果
Table 7 Standard deviation results of expanding area with different search radius
半径
R1～R2各向
异性比率外扩
第1级外扩
第2级外扩
第3级外扩
第4级外扩
第5级6～9 0.667 0.1908 0.6063 1.1106 1.5160 1.7281 6～12 0.5 0.1385 0.4560 0.8938 1.2566 1.4601 6～18 0.333 0.0738 0.2743 0.6327 0.8879 1.0395 6～24 0.25 0.0574 0.2645 0.5969 0.9025 1.0871 6～30 0.2 0.0793 0.3245 0.7580 1.1690 1.5718
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表 8 不同搜索点数外扩区标准偏差结果
Table 8 Standard deviation results of expanding area with different search points
搜索点数 48 64 80 96 外扩第1级 0.0781 0.0738 0.0957 0.1037 外扩第2级 0.3628 0.2743 0.2779 0.3088 外扩第3级 0.6909 0.6327 0.5561 0.5834 外扩第4级 0.9767 0.8879 0.8673 0.8632 外扩第5级 1.1345 1.0395 1.0415 1.0765
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表 9 仅考虑内部或外部最佳参数时外扩区标准偏差结果
Table 9 Standard deviation results of expanding area when only considered internal or external optimal parameters
参数选取 内部点 外扩第1级 外扩第2级 外扩第3级 外扩第4级 外扩第5级 仅考虑外扩最佳参数时 0.01659 0.0738 0.2743 0.6327 0.8879 1.0395 仅考虑内插最佳参数时 0.01656 0.4235 1.7454 3.7984 6.0762 8.8219
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表 10 不同搜索角度时新模型的扩边结果
Table 10 Edge expanding results of new model with different search angles
搜索
角度0° 32° 45° 90° 122° 135° 外扩第1级 0.3109 0.1547 0.0738 0.4983 1.1727 1.0471 外扩第2级 1.4690 0.4251 0.2743 1.2504 2.8641 1.9599 外扩第3级 2.6924 0.6833 0.6327 1.9878 5.6132 4.0206 外扩第4级 3.5599 0.8962 0.8879 2.6471 8.4885 6.5704 外扩第5级 3.9009 1.0328 1.0395 3.2340 10.7697 8.3004
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表 11 不同搜索角度时Y模型的扩边结果
Table 11 Edge expanding results of Y model with different search angles
搜索
角度外扩
第1级外扩
第2级外扩
第3级外扩
第4级外扩
第5级0° 1.4208 3.9802 5.9726 7.6232 8.8935 8° 0.9059 2.3075 3.7689 5.6709 6.6191 39° 0.4838 1.3818 2.1895 3.0557 3.2056 45° 0.3833 1.1941 1.9197 2.4483 2.7107 70° 0.3108 0.9633 1.4703 1.8648 2.2582 90° 0.3309 1.3128 1.7726 2.2548 2.7663 98° 0.3186 0.8561 1.1129 1.3845 1.9681 129° 0.0935 0.2776 0.4958 0.7509 1.0083 135° 0.1206 0.3465 0.5737 0.7635 0.9791 160° 0.4661 1.1499 1.9294 2.1958 2.2504
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